Shalan
Shalan - Sapiens Sapiens - 840 Punti
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salve a tutti..
vorrei un mano a risolvere e rappresentare questa funzione abastanza difficile...

f(x)= sen(al cubo) + cos(al cubo)
con intervallo [0,2Π]

se non mi sbaglio non è possibile trovare i LIMITI da quanto ho capito dal prof...
cmq cerco consigli e magari qualcuno che la riesca a svolgere e mandare tramite IMMAGINE o PDF..
cerco qualche minimo di risposta almeno entro la serata.. per favore
issima90
issima90 - Genius - 18666 Punti
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beh risolvere basta che risolvi la somma dicubi..
[math]sen^3x+cos^3x=(cosx+senx)(cos^2x-cosxsenx+senx^2)[/math]
Shalan
Shalan - Sapiens Sapiens - 840 Punti
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no.. come ho scritto bisogna anche rappresentare la funzione...
issima90
issima90 - Genius - 18666 Punti
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si cn calma..sn più indietro di te dimatematica!
Shalan
Shalan - Sapiens Sapiens - 840 Punti
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mmm io le funzioni le ho fatte l'anno scorso...
cmq quello che tu hai scritto prima è soltanto la trasformazione in un Prodotto..

io per RISOLVERE e RAPPRESENTARE una funzione intendo fare: dominio, eventuale simmetria, limiti, intersezioni con assi,derivata.. eccetera... tutto per rappresentare la CURVA della FUNZIONE
the.track
the.track - Genius - 12440 Punti
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Il grafico è questo:
Shalan
Shalan - Sapiens Sapiens - 840 Punti
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si ma mi serve anche la risoluzione... non solo il grafico..
come faccio a disegnarlo se non so niente di esso?
l'avrai fatto conqualche programma al computer giusto?
ma a me serve il procedimento
issima90
issima90 - Genius - 18666 Punti
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potevi dire studiare una funzione..avrei capito!
Shalan
Shalan - Sapiens Sapiens - 840 Punti
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bè studiare o risolvere e farne il grafico penso sia la stessa cosa..
cmq si Studiare una funzione.. sai farla questa issima?


cmq per precisare ci mancava la x... quindi ripeto la funzione:
f(x)= sin^3(x)+cos^3(x)
SuperGaara
SuperGaara - Mito - 120308 Punti
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Shalan: bè studiare o risolvere e farne il grafico penso sia la stessa cosa..

In linguaggio matematico si dice studiare un funzione e tracciarne il grafico :lol

Comunque io non la so fare per il momento :dontgetit
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Ecco lo studio di funzione passo passo:

[math]f(x)=\sin^3 x+\cos^3 x[/math]

1) Dominio: Le funzioni trigonometriche seno e coseno sono definite su tutto l'asse reale. In paticolare, essendo esse periodiche di periodo
[math]2\pi[/math]
ti permettono di studiare la funzione nel solo intervallo
[math][0,2\pi][/math]
;
2) Simmetrie: poiché

[math]f(-x)=\sin^3(-x)+\cos^3(-x)=-\sin^3 x+\cos^3 x[/math]

la funzione non presenta simmetrie rispetto all'origine.

3)Intersezioni e segno: Sia ha, per x=0, f(0)=1, e quindi la funzione passa per il punto A(0,1). Inoltre se f(x)=0 bisogna risolvere l'equazione

[math]\sin^3 x+\cos^3 x=0[/math]

o, dividendo per
[math]\cos x[/math]
e poiché
[math]x=\pi/2+k\pi[/math]
non risultano essere soluzioni
[math]\tan^3 x+1=0 \Longleftrightarrow \tan x=-1 \Longleftrightarrow x=3\pi/4+k\pi[/math]

che, all'interno dell'intervallo
[math][0,\pi][/math]
danno luogo ai punti di intersezione
[math]B(3\pi/4,0),\qquad C(7\pi/4,0)[/math]
.
Inoltre, come è facile constatare, risulta pure

[math]f(x)>0,\quad x\in[0,3\pi/4)\cup(7\pi/4,2\pi],\qquad\qquad f(x)<o,\quad x\in(3\pi/4,7\pi/4)[/math]

4)Comportamento asintotico (limiti): Poiché la funzione è definita dappertutto, non ci sono limiti per valori reali da calcolare. Analogamente, non è necessario calcolare limiti all'infinito, in quanto le funzioni seno e coseno, essendo periodiche, non ammettono tali limiti (il limite non esiste);

5) Monotonia (derivata prima): abbiamo

[math]f'(x)=3\sin^2 x\cos x-3\cos^2 x\sin x=3\sin x\cos x(\sin x-\cos x)[/math]

Imponendo che
[math]f'(x)\geq 0[/math]
si ricavano le soluzioni
[math]\sin x\geq 0\quad \Longleftrightarrow\quad 0\leq x\leq\pi,[/math]

[math]\cos x\geq 0\quad \Longleftrightarrow\quad 0\leq x\leq\pi/2, 3\pi/2\leq x\leq 2\pi,[/math]

[math]\sin x-\cos x\geq 0\quad \Longleftrightarrow\quad \frac{\tan x-1}{\cos x}\geq 0 \quad \Longleftrightarrow (\tan x\geq 1 \wedge \cos x>0) \vee (\tan x-1\leq 0\wedge\cos x<0)\quad \Longleftrightarrow[/math]
[math](\pi/4\leq x<\pi/2, 5\pi/4\leq x<3\pi/2 \wedge 0\leq x\leq\pi/2, 3\pi/2\leq x\leq 2\pi)\vee (0\leq x\leq \pi/4, \pi/2<x\leq 5\pi/4, 7\pi/4\leq x<2\pi\wedge \pi/2<x<3\pi/2)[/math]

da cui le soluzioni

[math]0\leq x\leq\pi[/math]
[math]0\leq x\leq\pi/2, 3\pi/2\leq x\leq 2\pi[/math]
[math]\pi/4\leq x\leq 5\pi/4[/math]

Mettendo queste tre soluzioni su di un grafico dei segni e cercando la soluzione per
[math]f'(x)\geq 0[/math]

si ottiene

[math]f'(x)=0\qquad x=0, \pi/4, \pi/2, \pi, 5\pi/4, 3\pi/2, 2\pi[/math]
[math]f'(x)>0\qquad \pi/4<x<\pi/2, \pi<x<5\pi/4, 3\pi/3<x<2\pi[/math]
[math]f'(x)<0\qquad 0<x<\pi/4, \pi/2<x<\pi, 5\pi/4<x<3\pi/2[/math]

per cui si hanno i seguenti Massimi
[math]M_1(0,1),\qquad M_2(\pi/2,1),\qquad M_3(5\pi/4, -1/\sqrt{2}),\qquad (2\pi,1)[/math]
e i seguenti minimi
[math]m_1(\pi/4,1/\sqrt{2}),\qquad m_2(\pi,-1), \qquad m_3(3\pi/2,-1)[/math]


6)Concavità e flessi (derivata seconda): Abbiamo

[math]f''(x)=3\left\{2\sin x\cos^2 x-\sin^3 x+2\cos x\sin^2 x-\cos^3 x\right\}=
3(\sin x+\cos x)(2\sin x\cos x-\sin^2 x+\sin x\cos x-\cos^2 x),[/math]

e quindi

[math]f''(x)=3(\sin x+\cos x)(3\sin x\cos x-1)=3\cos x(\tan x+1)(3/2\cdot \sin(2x)-1)\geq 0[/math]
.
Le soluzioni di questa disequazione sono un po' una rottura di scatole (a causa dellultima parentesi). Basta sapere che essa ammette sei radici che corrispondono ai punti di flesso. Il grafico è dato nella figura seguente.
Shalan
Shalan - Sapiens Sapiens - 840 Punti
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la simmetria non dovrebbe uscire f(-x)= -f(x) ??
puoi spiegarmi il fatto della Derivata Prima f'(x) maggiore o uguale a 0..
come si fa??
Non ho proprio capito il punto 5
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Per determinare i massimi e mini di una funzione, bisogna determinare il segno della derivata prima della funzione f. Risolvendo la disequazione
[math]f'(x)\geq 0[/math]
riesci, in un colpo solo, a determinare sia i punti in cui la derivata si annulla (eventuali punti di massimo o minimo) sia quelli in cui la funzione è crescente o decrescente. L'analisi del grafico dei segni per la f' ti permette allora di determinare se i punti a derivata nulla sono massimi o minimi l modo seguente:
a punto di minimo: se f'(x)<0 x<a e f'(x)>0 x>a;

a punto di massimo: se f'(x)>0 x<a e f'(x)<0 x>a.

Se invece il tuo problema è quello della risoluzione della disequazione... beh lì il problema è la trigonometria e non l'analisi! :)
Shalan
Shalan - Sapiens Sapiens - 840 Punti
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sisi ho capito... è che le vacanze mi hanno arrugginito parecchio...
cmq mmm per quanto riguarda la simmetria invece?
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Quella non c'è! Per definizione una funzione si dice pari se

f(-x)=f(x)

mentre si dice dispari se

f(-x)=-f(x).

In questo caso

[math]f(-x)=\sin^3(-x)+\cos^3(-x)=(-\sin x)^3+\cos^3 x=-\sin^3 x+\cos^3x[/math]

e l'ultima espressione non coincide né con f(x) né con -f(x).

Pagine: 12

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