insule23
insule23 - Sapiens - 506 Punti
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salve avrei un aiuto su come poter continuare questo esercizio..
si risolva ,se esiste ,attraverso l'uso di limiti notevoli il seguente limite
[math]\lim_{x \to 1}\frac{logx\cdot log\left | x-1 \right |}{x-1}\cdot sin\frac{1}{x}[/math]
allora io ho iniziato in tal modo..
il limite si presenta nella forma indeterminata 0/0.
quindi cambio la variabile e scrivo:

[math]x-1=t[/math]
e
[math]x=1+t[/math]

e quindi si ha che quando:

[math]x \to 1[/math]
implica che
[math]t \to 0[/math]

e riscrivo il limite come:

[math]\lim_{t \to 0}\frac{log(1+t)\cdot log\left | t \right |}{t}\cdot sin\frac{1}{1+t}[/math]

ora non sò come continuare.. se mi potete aiutare..
grazie..
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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I limiti notevoli non vanno solo imparati a memoria, bensì è ben più
importante saperli riconoscere. In questo caso, in particolare, si ha

[math]
\begin{aligned}
\lim_{x \to 1} \frac{\log(x)\log|x+1|}{x-1} \sin\left(\frac{1}{x}\right)
& = \lim_{t \to 0} \frac{\log(1 + t)\log|2 + t|}{t} \sin\left(\frac{1}{1 + t}\right) \\
& = \lim_{t \to 0} \, \frac{\log(1 + t)}{t} \cdot \lim_{t \to 0} \, \log|2 + t|\sin\left(\frac{1}{1 + t}\right) \\
& = \dots
\end{aligned}\\
[/math]

e a questo punto, come detto sopra, è sufficiente riconoscere il limite notevole. ;)
insule23
insule23 - Sapiens - 506 Punti
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scusa ma hai sbagliato a scrivere il limite il limite è:
[math]\lim_{x \to 1}\frac{logx\cdot log\left | x-1 \right |}{x-1}\cdot sin\frac{1}{x}[/math]

io ho provato a svolgero ma mi sono fermato qui:
[math]\lim_{t \to 0}\frac{log(1+t)\cdot log\left | t \right |}{t}\cdot sin\frac{1}{1+t}[/math]

no riesco più a proseguire..
se mi potete aiutare..
grazie..
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Tutto ciò che ho scritto vale comunque!! Devi solo considerare
[math]\log|t|[/math]
al posto di
[math]\log|2 + t|[/math]
. Non mi pare un dramma... :)
insule23
insule23 - Sapiens - 506 Punti
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quindi essendo il limite

[math]\lim_{t \to 0}\frac{log(1+t)}{t}=1[/math]

si ha che
[math]\lim_{t \to 0}log\left | t \right |\cdot sin\left ( \frac{1}{1+t} \right )[/math]

essendo il seno una funzione limitata è una costante...
bisogna quindi considerare sia quando
[math]t \to 0^{-}[/math]
e sia quando
[math]t \to 0^{+}[/math]
...
è giusto?
sto andando in confusione..
potete aiutarmi..
grazie..
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Eccetto il fatto che una funzione limitata sia una costante (questa mi è nuova) il resto è tutto corretto. Ti faccio notare che non a caso è stato applicato un modulo sull'argomento del secondo logaritmo da cui segue che sia a zero meno che a zero più si ottiene il medesimo risultato. Dunque, il risultato è....
insule23
insule23 - Sapiens - 506 Punti
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quindi abbiamo che avendo il log ha senso solo se l'argomento è
[math]>0[/math]
,quindi se
[math]x>0[/math]
quindi il limite di
[math]\\lim_{t \to 0^-}log\left | t \right |[/math]

non ha significato.

invece il limite di

[math]\\lim_{t \to 0^+}log\left | t \right |=-\infty [/math]

e quindi per il teorema di unicità del limite segue che il limite dato non esiste..

è giusto??
sto impazzendo...
se mi potete aiutare grazie..
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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A quanto pare non riesci ad applicare la definizione di valore assoluto.
Infatti, si ha
[math]\begin{aligned}\lim_{t\to 0^-}\log|t| = \lim_{t\to 0^+}\log|t| = -\infty\end{aligned}[/math]
e quindi segue
che
[math]\begin{aligned}\lim_{t\to 0}\log|t|= -\infty\end{aligned}[/math]
(Cerca di studiare con più tranquillità...) :)
insule23
insule23 - Sapiens - 506 Punti
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ok va bene..
quindi essendo che
[math]\lim_{t \to 0 } sin\frac{1}{1+t}= sin 1[/math]

e quindi risulta il limite dato uguale a
[math]sin 1\cdot (-\infty )=-\infty [/math]

è giusto???
fammi sapere..
grazie..
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Sì, è giusto. ;)
insule23
insule23 - Sapiens - 506 Punti
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ok grazie..
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