insule23
insule23 - Sapiens - 509 Punti
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salve avrei un aiuto su come svolgere questo esercizio..
si risolva ,se esiste ,attraverso l'uso di limiti notevoli il seguente limite
[math]\lim_{x \to +\infty }\frac{e^{x}-3^{x}+x}{x^{2}-log\left ( x^{3} \right )}+sin x[/math]


abbiamo che il limite si presenti nelle seguenti forme indeterminate ovvero:

[math]\frac{\infty }{\infty }[/math]

se mi potete aiutare spiegandomi
come poter iniziare a risolverlo..
grazie
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Più che hai limiti notevoli, penserei a confronti locali, cioè a determinare quali sono le funzioni che vanno a infinito prima delle altre. Nel numeratore, ad esempio, puoi ragionare così: gli esponenziali sono più "grandi" delle potenze di x, inoltre maggiore è la base dell'esponenziale, maggiore è la velocità con cui va ad infinito. Pertanto il numeratore si può sostituire con la sola funzione
[math]-3^x[/math]
. Per il denominatore, visto che le potenze sono più veloci dei logaritmi, puoi sostituire tutto con
[math]x^2[/math]
. Il limite diventa pertanto
[math]\lim_{x\to +\infty}\frac{-3^x}{x^2}+\sin x[/math]

Ora, osserviamo che la frazione, sebbene si presenti ancora nella forma indeterminata, ha come limite
[math]-\infty[/math]
: infatti, seguendo i ragionamenti precedenti, l'esponenziale vince sulla potenza, e quindi i limite si comporta come il numeratore. Cosa ce ne facciamo della funzione seno? Sappiamo che essa non ha limite per x che tende a infinito: tuttavia osserva che tale funzione è limitata, in quanto assume valori
[math]c\in[-1,1][/math]
: pertanto il tuo limite ha come risultato il valore
[math]-\infty+c,\ c\in[-1,1][/math]
e dal momento che gli infiniti mangiano le costanti, dal teorema del confronto puoi affermare che il limite vale
[math]-\infty[/math]
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