reanto91
reanto91 - Bannato - 252 Punti
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salve avrei bisogno di un aiuto con la risoluzione della disequazione:
[math]arc cos [( log_\frac{1}{2} | 1-cos(x) |) - \frac{\pi }{2}] \cdot \sqrt{sin^{2}(x)-3sin x}\leq 0[/math]

per chi non legge latex: [arc cos ( log_{{1}{2}} | 1-cos x |) - pigreco/2] * \sqrt{sin^{2}x-3sin x}<=0

grazie mille..
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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E' li il punto, ciò che "non hai scartato" non è accettabile! Come capirlo? Sostituendo tale soluzione (come consigliato sopra) per
[math]k=0[/math]
nella disequazione di partenza. Certo, bisogna trovare il tempo per farlo...

Infatti, per
[math]x=0[/math]
l'argomento del logaritmo si annulla e ciò falsifica tutta la proposizione. Per quanto riguarda l'altro "pezzo" di soluzione (che per via del
[math]\pm[/math]
è doppia), la "parte positiva" è da scartare in quanto fa diventare negativo il radicando.

Conclusione:

[math]Soluzione = \left\{ x\in\mathbb{R} : x = - \arccos\left(1-2^{-\left(1+\frac{\pi}{2}\right)}\right) + 2k\pi, \; k\in\mathbb{Z} \right\}\; . [/math]
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Dunque, vogliamo calcolare la seguente disequazione:
[math] \arccos\left(\log_{\frac{1}{2}}\left|1-\cos x\right|-\frac{\pi}{2}\right)\sqrt{\sin x\,\left(\sin x - 3\right)} \le 0 \; . \\[/math]

Per evitare di fare una montagna di calcoli (che poi si rivelerebbero
superflui) occorre porgere particolare attenzione ai due fattori presenti
a membro sinistro. In particolare non è difficile notare che si tratta di
due funzioni (arcocoseno e radice quadrata) che in output porgono
solo quantità non negative (nel loro dominio).

Dato che a noi interessano solamente i valori per cui tale prodotto è
negativo o nullo (il primo fattore lo è quando l'argomento dell'arccos
è pari all'unità mentre il secondo quando il radicando è nullo), tale
disequazione avrà la stessa soluzione del seguente sistema:

[math]\begin{cases} \log_{\frac{1}{2}}\left|1-\cos x\right|-\frac{\pi}{2} = 1 \; \vee \; \sin x\,\left(\sin x - 3\right) = 0 \\ - 1 \le \log_{\frac{1}{2}}\left|1-\cos x\right|-\frac{\pi}{2} \le 1 \\ \sin x\,\left(\sin x - 3\right) \ge 0 \end{cases} \\[/math]

Dai, ora prova a procedere scrivendo qualche tuo passaggio ;)
reanto91
reanto91 - Bannato - 252 Punti
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io ho provato a risolvere in questo modo... essendo il valore di un arcoseno è sempre positivo o zero e lo stesso dicasi per il radicale.
Quindi l'espressione non sarà mai negativa, potrà essere eventualmente uguale a 0

riduciamo allora tutto a
[math]arcos\left ( log_{\frac{1}{2}}\left | 1-cos(x)) \right | - \frac{\pi }{2}\right )\cdot \sqrt{sin^{2}(x)-3sin(x)}= 0[/math]

sarà 0 quando
(1)
[math]arcos\left ( log_{\frac{1}{2}}\left | 1-cos(x)) \right | - \frac{\pi }{2}\right )= 0[/math]
oppure quando
(2)
[math]\sqrt{sin^{2}(x)-3sin(x)}= 0[/math]
la (1) è risolta per
[math]log_{\frac{1}{2}}\left | 1-cos(x)) \right |=\frac{\pi }{2}[/math]
[math](1-cos x)=e^\frac{\pi }{2}[/math]
ma 1 non potrà mai essere e^(π/2) quindi la (1) non ha soluzione.
la (2) è risolta per
[math]sin^2(x)- 3·sin(x) = 0[/math]
[math]sin(x)(sin(x) - 3) = 0[/math]
e siccome
[math]sin(x) - 3 = 0[/math]
non ha soluzioni
resta solo
[math]sin(x) = 0[/math]
ovvero
[math]x = πK[/math]
con K € R
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Bene, vedo che hai seguito il ragionamento che ti ho suggerito.
Alcune osservazioni/correzioni. Nella seconda equazione, occhio
che
[math]k\in \mathbb{Z}[/math]
. Quanto alla prima equazione occorre "azzerare"
e "ricominciare". Infatti per prima cosa rileggi quello che ti ho scritto,
in quanto il primo fattore (riguardante l'arcocoseno) si annulla se e
soltanto se il proprio argomento è pari all'unità (e non a zero come
per la radice quadrata)!! A quel punto, ulteriore attenzione: la base
del logaritmo non è
[math]e[/math]
bensì
[math]1/2[/math]
. Arrivati a quel punto, occorrerà
verificare se la soluzione trovata è "compatibile" con la disequazione
iniziale: insomma, non dobbiamo dimenticarci delle condizioni di esistenza!!
reanto91
reanto91 - Bannato - 252 Punti
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Scusami cosa dovrei fare quindi... Mi puo
dire cosa devo dare esattamente .. Grazie.
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Devi semplicemente tradurre in "matematichese" ciò che ho scritto:

[math]\begin{align} &\arccos\left( \log_{\frac{1}{2}}\left|1-\cos x\right| - \frac{\pi}{2} \right) = 0 \; \Leftrightarrow \\ &\log_{\frac{1}{2}}\left|1-\cos x\right| - \frac{\pi}{2} = 1 \; \Leftrightarrow \\ & \log_{\frac{1}{2}}\left|1-\cos x\right| = 1 + \frac{\pi}{2} \; \Leftrightarrow \\ &1 - \cos x = \left(\frac{1}{2}\right)^{1 + \frac{\pi}{2}} \; \Leftrightarrow \\ &\cos x = 1 - 2^{-\left(1 + \frac{\pi}{2}\right)} \; \Leftrightarrow \\ &x = \pm \arccos\left(1 - 2^{-\left(1 + \frac{\pi}{2}\right)}\right) + 2k\pi \; \; \; per \; k\in\mathbb{Z} \; . \end{align}\\[/math]

Bene, abbiamo determinato la soluzione "provvisoria":

[math]x = \pm \arccos\left(1 - 2^{-\left(1 + \frac{\pi}{2}\right)}\right) + 2k\pi \; \vee \;\; x=k\pi \; \; per \; k\in\mathbb{Z} \; .\\[/math]

Perché provvisoria? Bhé, finora non ci siamo curati delle condizioni di esistenza!
In questo caso, il modo più semplice per farlo è sostituire la soluzione ottenuta
nella disequazione di partenza e vedere se è verificata. Per farlo in maniera
agevole basta porre
[math]k=0[/math]
: il resposo che si otterrà sarà estendibile per tutti
gli altri
[math]k\\[/math]
.
Alla "fin della fiera", la soluzione definitiva qual è? :)
reanto91
reanto91 - Bannato - 252 Punti
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la soluzione sarà semplicemente:
[math] x=k\pi \; \; per \; k\in\mathbb{Z} \; .\\[/math]
giusto???
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Ah sì? Per quale motivo? Insomma, perché hai scartato proprio il resto? :)
reanto91
reanto91 - Bannato - 252 Punti
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Essendo la soluzione accettabile ..
Altrimenti non saprei che dire..
Se me lo spieghi così posso capire..
Grazie-
reanto91
reanto91 - Bannato - 252 Punti
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e quindi in conclusione quale è la soluzione della disequazione???
inoltre come faccio a risolvere questa uguaglianza:
[math]x = \pm \arccos\left(1 - 2^{-\left(1 + \frac{\pi}{2}\right)}\right) + 2k\pi \; \; .\\[/math]
scusa ma sto andando in confusione... potretsi ricapitolare il tutto??? grazie :-)
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Ho già ricapitolato tutto nel precedente intervento: la soluzione finale è scritta grande una casa :D
Per quanto riguarda quella quantità, non occorre calcolarla in "maniera precisa" (fattibile solamente con una calcolatrice) ma è sufficiente approssimarla ad occhio per capire se verifica o meno la disequazione di partenza.
reanto91
reanto91 - Bannato - 252 Punti
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ok grazie mille..
skuolaGianmarco99
skuolaGianmarco99 - Erectus - 81 Punti
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Ma sono difficili
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