reanto91
reanto91 - Bannato - 252 Punti
Salva
salve avrei bisogno del vostro aiuto con questo esercizio...
si risolva la disequazione:
[math]arcsin\left ( log_{\frac{1}{2}}\left | 1-cos x \right | \right )\cdot \sqrt{sin^{2}x-2sinx}\geq 0[/math]

ho provato a risolverla in tal modo.
partiamo da
[math]arcsin\left ( log_{\frac{1}{2}}\left | 1-cos x \right | \right )\geq 0[/math]

sappiamo che l'arcoseno assume valori positivi se il suo argomento e compreso tra 0 e 1, ovvero:
[math]0\leq \left ( log_{\frac{1}{2}}\left | 1-cos x \right | \right )\leq 1[/math]

che è verificata per:

[math]\frac{\pi }{3}+2k\pi \leq x\leq \frac{\pi }{2}+2k\pi \vee \frac{ 3}{2}\pi+2k\pi \leq x\leq \frac{5 }{3}\pi+2k\pi[/math]


mentre per
[math]\sqrt{sin^{2}x-2sinx}\geq 0[/math]

abbiamo
[math]sin^{2}x-2sinx \geq 0[/math]
[math]sin x(sin x-2)\geq 0[/math]

ovvero
[math]sin x \geq 0[/math]
cioè
[math]0\leq x\leq \pi [/math]

è giusto??? quali solo quindi le soluzioni..
fatemi sapere.
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
Salva
Sulla disequazione che coinvolge l'arcoseno è tutto ok. Sulla seconda, invece, bada bene che
[math]\sin x - 2 < 0 \; \; \forall\,x\in\mathbb{R}[/math]
. Dunque, dividendo ambo i membri della disequazione per tale
quantità occorre ricordarsi di invertire il simbolo di disuguaglianza. In sostanza, si ottiene
[math]\sin x \le 0 \; \Leftrightarrow \; \pi + 2k\pi \le x \le 2\pi + 2k\pi\,, \; k\in\mathbb{Z}\\[/math]
.
A questo punto, per amor di semplicità, poni
[math]k=0[/math]
e rappresenta sulla circonferenza goniometrica le soluzioni della prima disequazione. Di tali archi di curva dovrai considerare solamente quelli in comunque con la soluzione della seconda disequazione dato che si tratta, in sostanza, del dominio della radice quadrata. Inoltre, ricordati di considerare le x per cui si annulla il radicando e contemporaneamente compatibili con il primo fattore. Quella è la soluzione cercata (a meno della periodicità che dovrai reintrodurre in maniera naturale).

Al solito, per dubbi e quant'altro chiedi pure ;)
reanto91
reanto91 - Bannato - 252 Punti
Salva
Scusa ma non ho capito come devo risolvere la disequazione
con il seno...
Perchè devo cambiare il segno..
mi puoi spiegare meglio..
sto andando in confusione..
Grazie..
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
Salva
Dunque, sarai d'accordo che
[math]1<2[/math]
. Ora, ricordando che nella risoluzione delle equazioni si può moltiplicare/dividere ambo i membri per una quantità non nulla mantenendo inalterata la soluzione, proviamo a fare lo stesso nel caso sopra scritto moltiplicando ambo i membri per
[math]-1[/math]
. Si ottiene
[math]-1<-2[/math]
che è palesemente falsa!! D'altro canto, non credo sia difficile capire che invertendo il simbolo di disuguaglianza, ossia scrivendo
[math]-1>-2[/math]
, si ottenga nuovamente qualcosa di vero. Bene, questo è un fatto del tutto generale: in una disequazione, qualora vi sia la necessità di moltiplicare/dividere ambo i membri per una quantità negativa per non alterarne la soluzione occorre invertire il simbolo di disuguaglianza.

Nel caso suddetto, dato che la funzione seno in output al massimo può fornire
[math]+1[/math]
, sommandovi
[math]-2[/math]
non credo sia difficile notare che si tratta di una quantità negativa. Bene, ora dividendo ambo i membri della disequazione per la quantità tra parentesi (che abbiamo capito essere negativa) occorre invertire il simbolo di disuguaglianza.

Spero sia chiaro ;)
reanto91
reanto91 - Bannato - 252 Punti
Salva
ok ora è chiaro..
quindi avrò che le soluzioni della disequazione data sono:
[math]\frac{3}{2}\pi+2k\pi \leq x\leq \frac{5}{3}\pi+2k\pi[/math]

con la condizione che
[math] x=\pi+2k\pi \vee x=2\pi+2k\pi[/math]

è giusto??
fammi sapere..
grazie..
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
Salva
Ni. Infatti,
[math]x=2k\pi\\[/math]
non è accettabile in quanto annulla l'argomento del logaritmo.
In definitiva, si ha

[math]\small Soluzione = \left\{ x\in\mathbb{R} : x = \pi+2k\pi, \; \frac{3}{2}\pi+2k\pi \le x \le \frac{5}{3}\pi + 2k\pi\,, \; k\in\mathbb{Z} \right\} \; .\\[/math]

Ciao e buono studio ;)
Questo topic è bloccato, non sono ammesse altre risposte.
Come guadagno Punti nel Forum? Leggi la guida completa
In evidenza
Classifica Mensile
Vincitori di novembre
Vincitori di novembre

Come partecipare? | Classifica Community

Community Live

Partecipa alla Community e scala la classifica

Vai al Forum | Invia appunti | Vai alla classifica

manliogrossi

manliogrossi Blogger 2728 Punti

VIP
Registrati via email