reanto91
reanto91 - Bannato - 252 Punti
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si calcoli se esiste il seguente limite con metodi dei limiti notevoli:
[math]\lim_{x\to \infty }log ( 1+\frac{1}{x} )\cdot \frac{x3^{2x}- sin x+x^{3}}{9^{x}-arctanx}[/math]
grazie mille...
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Dunque, facciamo un patto: io ti indico la "strada" (che ritengo ottimale) e tu ci mostri i passaggi in matematichese: ci stai? :)

In questo caso, per amor di semplicità, ti invito a ragionare sul secondo fattore. Siamo interessati al comportamento di numeratore e denominatore per
[math]x\to +\infty[/math]
, ossia per valori di
[math]x[/math]
enormi positivi. Osservato ciò, come possiamo semplificare tale frazione? Indizio: ragionare sulla gerarchia degli infiniti, ossia sul fatto che in tali condizioni alcune funzioni sono talmente "insignificanti" (o "corrono" verso tale limite molto più lentamente oppure oscillando non ammettono limite) rispetto
alle altre che è lecito trascurarle.

A quel punto siamo a cavallo!! Infatti, con una banale sostituzione, ci si può riportare ad un famoso limite notevole (come tanto desideri) e concludere il calcolo.

Dai, ora mostraci qualche passaggio senza alcun timore, solo così potrai imparare a risolverli da solo :)
reanto91
reanto91 - Bannato - 252 Punti
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Ok ta bene.. Ma almeno mi potresti dire come
posso iniziare perché non ho capito
come impostarlo, grazie
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Lo si inizia come ti ho scritto sopra. Devi ragionare sulla gerarchia degli infiniti capendo
quali addendi a numeratore e a denominatore del secondo fattore si possono trascurare.

In particolare, ti ricordo che, per
[math]x\to +\infty[/math]
, si ha
[math]\log_a x \ll x^b \ll x \ll x^a \ll a^x \ll x! \ll x^x \; \; [/math]
per
[math]a>1[/math]
,
[math]0<b<1\\[/math]
.
Esempio:
[math]\begin{align}\lim_{x\to +\infty} \frac{\log x + \sqrt{x}}{x^3 + 2^x} = \lim_{x\to +\infty} \frac{\sqrt{x}}{2^x} = 0 \; . \end{align}\\[/math]

Più di così non posso scrivere in quanto te lo risolverei e non avrebbe alcun senso.
reanto91
reanto91 - Bannato - 252 Punti
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allora ho provato a risolvere in questo modo:
[math]lim_{x\to \infty} \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\ \frac{x 3^{2x}}{ 9^x}\ \frac{1-\frac{\sin x}{x3^{2x}} + \frac{x^3}{x 3^{2x}}}{1-\frac{\arctan x}{9^x}}[/math]
[math]lim_{x\to \infty} \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\ x\ \frac{1-\frac{\sin x}{x3^{2x}} + \frac{x^3}{x 3^{2x}}}{1-\frac{\arctan x}{9^x}}[/math]
[math]lim_{x\to \infty} \frac{\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}}\ \frac{1-\frac{\sin x}{x3^{2x}} + \frac{x^3}{x 3^{2x}}}{1-\frac{\arctan x}{9^x}}[/math]

quindi il limite tende a 1... é esatto??? o sbaglia????
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Sì, è corretto :)

Più semplicemente, basta scrivere...

[math]\begin{align} &.. \lim_{x\to +\infty} \log\left(1+\frac{1}{x}\right)\frac{x\,3^{2x}-\sin x+x^3}{9^x-\arctan x} \\ &= \lim_{x\to +\infty} \log\left(1+\frac{1}{x}\right)\frac{x\,3^{2x}}{3^{2x}} \\ &= \lim_{x\to +\infty} \frac{\log\left(1+\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}} \\ &= \lim_{t\to 0} \frac{\log(1+t)}{t} \\ &= 1 \end{align}\\[/math]


Ciao!
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