insule23
insule23 - Sapiens - 509 Punti
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salve avrei bisogno del vostro aiuto con questo esercizio..
Si risolva la disequazione
[math]\left [ arccos\left ( log_{\frac{1}{2}}\left | 1-sinx \right | \right )-\frac{\pi }{2} \right ]\cdot \sqrt{cos^{2}-3cos x}\leq 0[/math]

io ho provato a impostare in questo modo..
essendo il valore di un arcocoseno sempre positivo o zero e lo stesso dicasi per il radicale, l'espressione non sarà mai negativa ma potrà essere eventualmente uguale a 0.

quindi ho impostato il seguente sistema,
[math]\left\{\begin{matrix}
\left [ arccos\left ( log_{\frac{1}{2}}\left | 1-sinx \right | \right )-\frac{\pi }{2} \right ]= 0\\
\sqrt{cos^{2}-3cos x}= 0
\end{matrix}\right.
[/math]

che però non riesco a risolvere.

è giusto????
mi potete aiutare a risolvere l'esercizio..
grazie..
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Hai ragionato in maniera impeccabile all'inizio e poi mi sei andata ad impostare
un sistema, sbagliando. Per capire il perché è sbagliato, è sufficiente ragionare
su un caso analogo ma più semplice. Infatti, bada bene che

[math]x^2\,\sqrt{x-1} \le 0 \; \not\Leftrightarrow \; \begin{cases} x^2 = 0 \\ \sqrt{x-1}=0 \end{cases}\\[/math]

bensì

[math]x^2\,\sqrt{x-1} \le 0 \; \Leftrightarrow \; x^2\,\sqrt{x-1} = 0\\[/math]

ossia

[math]x^2\,\sqrt{x-1} \le 0 \; \Leftrightarrow \; \begin{cases} x = 0 \, \vee \, x-1 = 0 \\ x-1 \ge 0 \end{cases}\\[/math]


A questo punto, per quanto riguarda quella disequazione, guarda pure
qui(click): si tratta di una stretta parente di quella che stai calcolando ;)
insule23
insule23 - Sapiens - 509 Punti
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ok.. quindi devo risolvere il seguente sistema:
[math]\left\{\begin{matrix}
\left [ arccos\left ( log_{\frac{1}{2}}\left | 1-sinx \right | \right )-\frac{\pi }{2} \right ]= 0\\
\sqrt{cos^{2}-3cos x}= 0 \\
-1\leq \left ( log_{\frac{1}{2}}\left | 1-sinx \right | \right )-\frac{\pi }{2}\leq 1\\
cos^{2}-3cos x> 0
\end{matrix}\right.[/math]

è giusto???
come le risolvo..
se mi puoi aiutare..
grazie..
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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No, in quel thread non mi pare che ci sia scritto che bisogna intersecare le due
equazioni, bensì unirle (due operazioni completamente differenti). A quel punto
procedi con la lettura dato che trovi praticamente tutti i passaggi per risolvere
tali equazioni e cerca di applicarli al tuo caso specifico ;)
insule23
insule23 - Sapiens - 509 Punti
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allora devo risolvere il seguente sistema:
[math]\left\{\begin{matrix}
\left [ arccos\left ( log_{\frac{1}{2}}\left | 1-sinx \right | \right )-\frac{\pi }{2} \right ]= 0 \vee \sqrt{cos^{2}-3cos x}= 0 (1)\\
-1\leq \left ( log_{\frac{1}{2}}\left | 1-sinx \right | \right )-\frac{\pi }{2}\leq 1 (2)\\
cos^{2}-3cos x> 0 (3)
\end{matrix}\right.[/math]

dalla (1) ottengo che:
[math]x=arcsin\left [ 1\pm \left ( \frac{1}{2}^{\frac{\pi }{2}+1} \right ) \right ][/math]
[math]\vee [/math]
[math]x=\frac{\pi }{2}+2k\pi [/math]

è giusto???
per la (2) e la (3) non sò come continuare...
se mi potresti dire i passaggi..
grazie..
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Per la prima equazione ci siamo quasi se quel meno pi-greco mezzi facesse
parte dell'argomento dell'arcocoseno, altrimenti siamo completamente fuori
strada. Sulla soluzione della seconda equazione, correttamente, si ha
[math]x=\pm \frac{\pi}{2}+2\,k\,\pi\,,\; \; k\in\mathbb{Z}\\[/math]
.
Ora vedi di chiarire il da farsi sulla prima equazione. Infatti, come ho scritto
nel thread sopra linkato, in questi casi non occorre risolvere quelle disequazioni
ma una volta ottenute le soluzioni dalle equazioni è sufficiente verificare se le
soddisfano sostituendovi tali valori. Nel caso non le soddisfino vanno scartate. :)
insule23
insule23 - Sapiens - 509 Punti
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Si il pigreco mezzi fa parte dell'argomento
dell'arcocoseno ...
Quindi come devo fare..
Mi potete aiutare
grazie..
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Allora, vediamo un po' di tirare le fila del thread, altrimenti si rischia
di non capirsi più nulla. Tutto ebbe inizio dalla disequazione

[math]\arccos\left( \log_{\frac{1}{2}}\left| 1-\sin x \right| - \frac{\pi}{2} \right)\sqrt{\cos^2 x - 3\,\cos x} \le 0\\[/math]

che dopo alcune semplici considerazioni abbiamo capito essere equivalente a

[math]\arccos\left( \log_{\frac{1}{2}}\left| 1-\sin x \right| - \frac{\pi}{2} \right)\sqrt{\cos^2 x - 3\,\cos x} = 0\\[/math]

che a sua volta equivale a scrivere

[math]\begin{cases} \log_{\frac{1}{2}}\left| 1-\sin x \right| - \frac{\pi}{2} = 1 \; \vee \; \cos x\,\left(\cos x - 3\right) = 0 \\ -1 \le \log_{\frac{1}{2}}\left| 1-\sin x \right| - \frac{\pi}{2} \le 1 \\ \cos x\,\left(\cos x - 3\right) \ge 0 \end{cases}\\[/math]

A questo punto si risolvono le equazioni che hai quasi calcolato correttamente.
Precisamente, si ha

[math]\begin{cases} x = (-1)^k\,\arcsin\left(1-2^{-\left(1+\frac{\pi}{2}\right)}\right) + k\,\pi \; \vee \; x = \pm \frac{\pi}{2} + 2\,k\,\pi\,, \; \; per \; k\in\mathbb{Z} \\ -1 \le \log_{\frac{1}{2}}\left| 1-\sin x \right| - \frac{\pi}{2} \le 1 \\ \cos x\,\left(\cos x - 3\right) \ge 0 \end{cases}\\[/math]

dove, bada bene, il simbolo "più o meno" all'interno dell'arcocoseno non è presente
in quanto col segno più non si otterrebbe soluzione reale (ricorda che l'arcoseno è
definita nell'intervallo chiuso -1, 1).

Adesso è inutile perdere tempo nel calcolare anche le disequazioni. Infatti si fa molto
più in fretta a verificare se le soluzioni delle due equazioni soddisfano il sistema ossia
verificano la disequazione di partenza. Per fare ciò è sufficiente porre
[math]k=0[/math]
e
sostituire tali quantità nella disequazione di partenza. Se la soddisfano sono accettabili,
altrimenti si scartano :)
insule23
insule23 - Sapiens - 509 Punti
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scusate ma ho sbagliato prima riguardi il
[math]\pi/2[/math]
infatti quest'ultimo non fa parte dell'argomento
dell'arcocoseno ...
Quindi come devo fare..
Mi potete aiutare
grazie..
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Una cosa per volta. Adesso concludiamo la disequazione appena studiata.
In sostanza, prima che modificassi la risposta, avevi scritto la soluzione quasi
corretta. Infatti,
[math]x=\pm \frac{\pi}{2}[/math]
sono entrambe da scartare perché rispettivamente
forniscono in output valori in cui non sono definite le funzioni arcocoseno e
logaritmo. Per quanto riguarda l'altra soluzione, è accettabile solamente per
[math]k[/math]
_
dispari, altrimenti rende negativo il radicando. In conclusione, si ha

[math]\scriptsize Soluzione = \left\{ x\in \mathbb{R} : x = (-1)^{2k+1}\arcsin\left( 1-2^{-\left(1+\frac{\pi}{2}\right)} \right) + (2k+1)\,\pi, \; k \in \mathbb{Z} \right\} \; .\\[/math]



Ciò detto, vediamo si affrontare anche quest'altra disequazione

[math]\left[\arccos\left( \log_{\frac{1}{2}}\left| 1-\sin x \right|\right) - \frac{\pi}{2} \right]\sqrt{\cos^2 x - 3\,\cos x} \le 0 \\[/math]

la cui soluzione equivale a quella del seguente sistema

[math]\begin{cases}0 \le \log_{\frac{1}{2}}\left| 1-\sin x \right| \le 1 \; \vee \; \cos^2 x - 3\,\cos x = 0 \\ 1-\sin x \ne 0 \\\cos^2 x - 3\,\cos x \ge 0 \end{cases} \; . \\[/math]

A te procedere ;)
insule23
insule23 - Sapiens - 509 Punti
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abbiamo quindi che:
[math]0 ≤ log_\frac{1}{2} |1 – sin x| ≤ 1[/math]

[math]\frac{1}{2} ≤ 1 – sin x ≤ 1 [/math]

[math]0 ≤ sin x ≤ \frac{1}{2}[/math]

[math]\frac{5}{6}π + 2kπ ≤ x ≤ π + 2kπ[/math]

e

[math]cos²x – 3cosx ≥ 0[/math]

[math]cosx(cosx – 3) ≥ 0[/math]

[math]cosx ≥ 0[/math]

[math]0 < x < \frac{π}{2}[/math]
[math]\vee[/math]
[math]\frac{3}{2}π < x < 2π[/math]


quindi le soluzioni del sistema sono:
[math]\frac{5}{6}π + 2kπ ≤ x ≤ π + 2kπ[/math]
[math]\cup [/math]
[math]x=\frac{3}{2}π+2kπ[/math]

è giusto fammi sapere...
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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La soluzione finale è corretta. Già che ci sono aggiusto qualcosina qui e là ...

1.
[math]
\begin{aligned}
& 0 \le \log_{\frac{1}{2}}\left|1-\sin x\right|\le 1 \\
& \frac{1}{2} \le \left|1-\sin x\right|\le 1 \\
& -1\le 1-\sin x\le -\frac{1}{2} \; \; \vee \; \; \frac{1}{2}\le 1-\sin x\le 1 \\
& \frac{3}{2} \le \sin x \le 2 \; \; \vee \; \; 0 \le \sin x \le \frac{1}{2} \\
& false \; \; \vee \; \; \left( 0+2k\pi \le x \le \frac{\pi}{6} + 2k\pi \; \vee \; \frac{5}{6}\pi+2k\pi \le x \le \pi + 2k\pi \right) \\
& 2k\pi \le x \le \frac{\pi}{6} + 2k\pi \; \vee \; \frac{5}{6}\pi+2k\pi \le x \le \pi + 2k\pi
\end{aligned} \\
[/math]


2.
[math]
\begin{aligned}
& \cos^2 x -3\cos x = 0 \\
& \cos x\,\left( \cos x - 3 \right) = 0 \\
& \cos x = 0 \; \vee \; \cos x = 3 \\
& x = \pm \frac{\pi}{2} + 2k\pi \; \vee \; false \\
& x = \pm \frac{\pi}{2} + 2k\pi
\end{aligned} \\
[/math]


3.
[math]
\begin{aligned}
& 1-\sin x \ne 0 \\
& \sin x \ne 1 \\
& x \ne \frac{\pi}{2} + 2k\pi
\end{aligned} \\
[/math]


4.
[math]
\begin{aligned}
& \cos^2 x -3\cos x \ge 0 \\
& \cos x\,\left( \cos x - 3 \right) \ge 0 \\
& \cos x \le 0 \\
& \frac{\pi}{2} + 2k\pi \le x \le \frac{3}{2}\pi + 2k\pi
\end{aligned} \\
[/math]


Si conclude che

[math]Soluzione = \left\{x\in \mathbb{R} : \frac{5}{6}\pi+2k\pi \le x \le \pi + 2k\pi \, \vee \, x = - \frac{\pi}{2} + 2k\pi\,, \; \; k\in\mathbb{Z} \right\}\\[/math]
.

Fine delle danze ;)
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