insule23
insule23 - Sapiens - 506 Punti
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salve avrei un aiuto con questa disequazione:
[math]arcsin\left | \frac{x-1}{x+2} \right |\cdot \left ( \frac{1+x}{log\left ( 1+x \right )}+2\left ( x+1 \right ) \right )> 0[/math]

Allora iniziamo a calcolare le condizioni di esistenza:
[math]\left\{\begin{matrix}
-1\leq \left | \frac{x-1}{x+2} \right |\leq 1 \\
log\left ( 1+x \right )\neq 0\\
1+x> 0 \\
x+2\neq 0
\end{matrix}\right.[/math]

dalla prima disequazione otteniamo che:
[math]\left | \frac{x-1}{x+2} \right |\leq 1[/math]

poiché il valore assoluto non potrà mai essere minore o uguale di -1;
e quindi risolvendo avremo che
[math]x\geq -\frac{1}{2}[/math]

tornado al sistema otteniamo:
[math]\left\{\begin{matrix}
x\geq -\frac{1}{2} \\
x)\neq 0\\
x> -1 \\
x\neq 2
\end{matrix}\right. \Rightarrow x\geq -\frac{1}{2} \vee x)\neq 0 [/math]

ora risolvo le due disequazioni:
[math]arcsin\left | \frac{x-1}{x+2} \right |> 0[/math]
e
[math]\frac{1+x}{log\left ( 1+x \right )}+2\left ( x+1 \right )> 0[/math]

è giusto??
come posso continuare a risolvere..
fatemi sapere..
grazie..
bimbozza
bimbozza - Genius - 19548 Punti
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Non proprio: nel sistema l'ultima condizione è
[math]x \not= -2[/math]
ma, data la soluzione complessiva, penso sia solo una svista.Il resto è giusto.
Per quanto riguarda la domanda "come posso continuare" quale delle due disequazioni ti crea problemi? In che modo?
insule23
insule23 - Sapiens - 506 Punti
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Entrambe.. La prima per quanto riguarda
l'arcoseno con il valore assoluto mentre
la secondo non riesco a capire come svolgerla in
quanto ho il logaritmo al denominatore...
Se mi potete aiutare..
Grazie..
bimbozza
bimbozza - Genius - 19548 Punti
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Per svolgere la prima disequazione devi chiederti: in che intervallo l'arcoseno è positivo? Se rispondi a questa domanda sai come "trasformare" la disequazione

Per quanto riguarda la seconda è una normale disequazione fratta: trova un unica denominatore e poi fai lo studio del segno
insule23
insule23 - Sapiens - 506 Punti
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Allora sappiamo che
arcseno è positivo per valori dell'argomento
compreso tra zero e uno..
È giusto..
Fatemi sapere...
Grazie..
bimbozza
bimbozza - Genius - 19548 Punti
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esatto
insule23
insule23 - Sapiens - 506 Punti
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Allora abbiamo che:
[math]0<\left | \frac{x-1}{x+2} \right |<1[/math]

ovvero
[math]\left | \frac{x-1}{x+2} \right |>0[/math]
e
[math]\left | \frac{x-1}{x+2} \right |>1[/math]

per la prima abbiamo che le soluzioni sono per:
[math]-2 < x < 1[/math]

oppure

[math]x<-2\vee x>1[/math]

mentre per la seconda devo risolvere il sistema:
[math]\left\{\begin{matrix}
\frac{x-1}{x+2}>-1\\
\frac{x-1}{x+2}<1
\end{matrix}\right.[/math]

che è verificato per:
[math]x>\frac{1}{2}[/math]


ora passiamo alla seconda disequazione cioe:
[math]\frac{1+x}{log\left ( 1+x \right )}+2\left ( x+1 \right )> 0[/math]

risolvendola otteniamo che:
al numeratore è verificata per
[math]x>\frac{1}{\sqrt{10}}-1[/math]

mentre al denominatore è verificata per:
[math]x>0[/math]

è giusto??
quindi quale sarebbe la soluzione finale della disequazione iniziale..
mi potete aiutare..
grazie..
bimbozza
bimbozza - Genius - 19548 Punti
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nella prima c'è un errore: hai dimenticato nella soluzione del sistema
[math]x\not=1[/math]
.
Se il tuo libro di testo considera log x come logaritmo decimale, è giusto.
La soluzione di questa seconda disequazione la trovi facendo lo studio del segno tra la soluzione del denominatore e quella del numeratore.

Una volta che hai trovato le soluzioni di questa seconda disequazione, per determinare la soluzione finale della disequazione, studi il segno tra le soluzioni della disequazione dell'arcoseno e la soluzione dell'altra disequazione.
insule23
insule23 - Sapiens - 506 Punti
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allora log x è inteso come logaritmo decimale
quindi dovremmo risolvere il sistema formato dalle soluzioni delle due disequazione con le loro condizioni di esistenza; avremo quindi che:

[math]\left\{\begin{matrix}
x\geq -\frac{1}{2} \vee x)\neq 0 condizioni di esistenza\\
\frac{1}{2} < x < 1 \vee x>1\\
x>\frac{1}{\sqrt{10}}-1 \vee x>0
\end{matrix}\right.\Rightarrow x>\frac{1}{2}[/math]

quindi la soluzione della disequazione è
[math]x>\frac{1}{2}[/math]

è giusto??
fatemi sapere..
grazie..
bimbozza
bimbozza - Genius - 19548 Punti
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ops, non mi ero accorta che c'era un altro errore, scusa. La soluzione del primo sistema non era x>1/2 ma
[math]x>-1/2[/math]
e
[math]x\not=1[/math]
.
Nel sistema da te impostato, per altro sbagliando per un motivo che ti dirò fra poco, vedo che hai sbagliato i risultati di entrambi gli studi del segno, il primo per l'errore da me citato sopra, il secondo perchè uno dei due segni è sbagliato (non sò se è una svista o no ma non è corretto).

Detto ciò, non devi fare un sistema tra il dominio e le soluzioni delle due disequazioni, devi mettere in sistema il dominio con la soluzione data dallo studio del segno delle soluzioni delle due disequazioni!
insule23
insule23 - Sapiens - 506 Punti
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scusa ma sto impazzendo..
mi potresti scrivere l'ultimo sistema che devo risolvere..
grazie..
bimbozza
bimbozza - Genius - 19548 Punti
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allora, chiamo a) la disequazione con l'arcoseno e b) l'altra. Le soluzioni sono:

a)
[math]-\frac{1}{2}<x<1[/math]
e
[math]x>1[/math]
b)
[math]x<\frac{1}{\sqrt{10}}-1[/math]
e
[math]x>0[/math]

dallo studio del segno si ha
[math]\frac{1}{\sqrt{10}}-1<x< -\frac{1}{2}\\
0<x<1\\
x>1[/math]

le tue condizioni di esistenza ti dicono che le soluzioni x=0 o x<-1/2 sono da escludere perchè non fanno parte del dominio quindi...
insule23
insule23 - Sapiens - 506 Punti
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quindi abbiamo:
[math]\left\{\begin{matrix}
\frac{1}{\sqrt{10}}-1<x<-\frac{1}{2} \vee 0<x<1 \vee x>1\\
x\geq -\frac{1}{2 }\vee x\neq 0
\end{matrix}\right.\Rightarrow x>0[/math]

la prima riga riguarda lo studio del segno ,la seconda invece le condizioni di esistenza...
quindi la disequazione data risulta uguale a :
[math]x>0[/math]

è giusto??..
fatemi sapere..
grazie
bimbozza
bimbozza - Genius - 19548 Punti
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no...è
[math]0<x<1[/math]
e
[math]x>1[/math]
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