kekko91le
kekko91le - Ominide - 6 Punti
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Salve a tutti,
sono ore che sto provando a risolvere questo problema di trigonometria senza venirne a capo, qualcuno mi può aiutare?

Vi copio il testo:

"Sull'arco AB, quarta parte di una circonferenza di centro O e raggio R, considera un punto P in modo che dette Q ed R le proiezioni ortogonali di P sui due raggi OA ed OB l'area del rettangolo OQPR sia 1/4r^2".

E potresti darmi una mano anche per questo:
"In una circonferenza di raggio r è inscritto un triangolo isoscele ABC di base AB. Calcola la misura dell'angolo al vertice sapendo che, detto H il piede dell'altezza relativa alla base AB, sia 1/2AB+CH = r(1+radicequadra2)"

Se, cortesemente, potreste spiegarmi analiticamente i passaggi e indicarmi il risultato finale ve ne sarei molto grato!
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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basta applicare le definizioni di seno e coseno.
OQ = cos(x)*r
OR = sen(x)*r

hai base e altezza, puoi trovare l'area
cos(x)*sen(x)*r^2 = 1/4r^2

risolvi l'equazione e hai fatto
kekko91le
kekko91le - Ominide - 6 Punti
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ma perchè per trovare OQ moltiplichi per "r" e lo stesso per trovare OR? il seno non è già di per se tutto OR?

E dopo che ho trovato (x), che è uguale a 15°, quali sono i risultati del problema?


Ultima cosa e poi non vi rompo più:

"In una circonferenza di raggio r è inscritto un triangolo isoscele ABC di base AB. Calcola la misura dell'angolo al vertice sapendo che, detto H il piede dell'altezza relativa alla base AB, sia 1/2AB+CH = r(1+radicequadra2)"

Grazie mille, davvero
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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ti rispondo solo a una domanda perchè non ho più tempo
kekko91le: ma perchè per trovare OQ moltiplichi per "r" e lo stesso per trovare OR? il seno non è già di per se tutto OR?

assolutamente no! il seno, come il coseno, è un rapporto tra un cateto e l'ipotenusa.
il problema è che ve lo insegnano con la circonferenza goniometrica, in cui r = ipotenusa = 1, e quando capita r diverso da 1 si pensa erroneamente al coseno come la proiezione di P sull'asse x, e il seno come la proiezione sull'asse y.
inoltre, se fosse come dici tu, seno e coseno potrebbero avere modulo maggiore di 1, il che non può accadere
kekko91le
kekko91le - Ominide - 6 Punti
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E' verissimo, caspita!!!

Ti ringrazio moltissimo allora, e ti chiedo le ultime due cose, dopodichè ti sarò davvero moooolto riconoscente:

1) Risolvendo l'equazione mi esce (x)=15°, i rusultati del problema quali sono? (non riesco a capire bene cosa chieda...) E comunque se io, ad esempio, volessi calcolarmi il raggio e la superfice del rettangolo sarebbe possibile?

2) Potresti darmi una mano anche con questo problema:
"In una circonferenza di raggio r è inscritto un triangolo isoscele ABC di base AB. Calcola la misura dell'angolo al vertice sapendo che, detto H il piede dell'altezza relativa alla base AB, sia 1/2AB+CH = r(1+radicequadra2)"

Grazie mille, davvero!
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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1) ammesso che 15° sia corretto (non lo verifico), il raggio è r, la superficie 1/4r^2 (cioè espressa in funzione di un parametro, r, dato dal problema). r è un numero qualsiasi, per fartene una ragione devi solo sostituire dei numeri a tua scelta.
ricorda che un punto su una circonferenza è univocamente individuato quando si conoscano le sue coordinate rispetto ad un asse, quindi basta fornire l'angolo rispetto ad un generico asse x (generico perchè non necessariamente è "orizzontale";)

2) chiamo O il centro della circonferenza.
1/2AB = AH = x
CH = r + OH = r+y (cioè pongo OH = y)

per pitagora: r^2 = AH^2 + OH^2 = x^2 + y^2
il problema ti dava inoltre una condizione da soddisfare:
1/2AB + CH = r(1+rad(2)) che diventa x + (y + r) = r(1+rad2)

quindi ottieni un sistema di due equazioni in due incognite.

una volta trovate le due incognite tieni conto che AH/CH = tg(a/2) dove a è l'angolo che ti chiede il problema
kekko91le
kekko91le - Ominide - 6 Punti
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Ti ringrazio tantissimo.

Il secondo problema è chiaro;
per il primo, in definitiva, basta che io esprima l'ampiezza dell'angolo (x)?

Grazie mille ancora, mi hai dato una grande mano per l'interrogazione di domani ;)
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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sì, te l'ho scritto se guardi.
in bocca al lupo ;)
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