destro84
destro84 - Ominide - 47 Punti
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Salve a tutti,
oggi il mio prof di matematica mi ha consegnato il compito sul calcolo combinatorio e convintissimo di averlo fatto bene mi sono stupito di un errore che il professore mi ha segnalato sul quale esercizio ero proprio convinto di averlo fatto corretto. Vi sottopongo ora il problema con la mia tesi e con quella del professore:
In un urna sono contenute 30 palline numerate da 1 a 30. Tenendo presente che l' estrazione delle palline avviene una alla volta lasciando fuori la pallina estratta, quanti sono i possibili raggruppamenti di 3 palline in modo tale che almeno 1 pallina sia corrispondente ad un numero pari, quindi di conseguenza le altre 2 palline estratte possono essere sia pari che dispari.

Il mio ragionamento: Tenendo prensente che le palline pari sono 15 e le palline dispari sono 15 ho proceduto in questa maniera. Disposizione di 15 palline prese 1 alla volta x la disposizione di 29 palline (il totale delle 30 palline meno quella appena estratta) prese 2 alla volta, infine moltiplicato per la permutazione di 3 elementi di cui 2 ripetuti (dato che la seconda disposizione prevede già un caso per ogni ordine). Il risultato di questa operazione è 15*29*28*(3!/2!)=36540

Ragionamento del prof: Tenendo presente che le palline pari sono 15 e le dispari sono 15 allora si prevedino i seguenti casi: (1ªpari e 2ªe3ª dispari) quindi disposizione di 15 elementi(gli elementi pari) presi uno alla volta x la disposizione di 15 elementi (gli elementi dispari) presi 2 alla volta x la permutazione di 3 elementi di cui 2 ripetuti (i 2 elementi dispari). Il risultato del primo caso è 15*15*14*(3!/2!)=9450
(1ª e 2ª pari mentre la 3ª dispari) quindi disposizione di 15 elementi (gli elementi pari) presi 2 alla volta x la disposizione di 15 elementi (gli elementi dispari) presi 1 alla volta per la permutazione di 3 elementi di cui 2 ripetuti. Il risultato è come sopra 9450
(1ª, 2ª e 3ª pari) quindi disposizione di 15 elementi presi 3 alla volta. Il risultato è 2730
La somma tra i tre casi è 21630

Ora il professore sostiene che la sua sia giusta e la mia sia errata. Fin qui nessun problema il problema nasce dal fatto che ho chiesto dove è sbagliato il mio ragionamento e non ha saputo rispondermi al che mi sono un po' innervosito dentro di me ed è tutta oggi pomeriggio che ci penso e non riesco a darmi spiegazione. Magari è una banalità il fatto sta che il mio prof. non è riuscito a spiegarmela....

Vi ringrazio per il vostro aiuto ed oltre a sapere quale dei 2 ragionamenti è corretto vorrei sapere se l'uno o se l'altro dove sta l'errore di ragionamento...

Grazie mille

Aggiunto 20 ore 19 minuti più tardi:

Grazie mille sei stato eccellente nella spiegazione no come il mio professore che a mio parere non è stato in grado di rispondermi. Grazie mille ancora...
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Per prima cosa il tuo risultato e' evidentemente errato, dal momento che non essendoci ripetizione le disposizioni massime in cui puoi mettere le palline sono meno del risultato che tu hai ottenuto.

Detto questo, il tuo ragionamento e' sbagliato e provo a spiegarti perche'.

Tu dici: considero tutte le combinazioni che abbiano la prima pallina pari: esse sono 15.
Ora, siccome la prima e' pari, le altre due possono essere di qualunque tipo, tanto la combinazione va bene perche' una pallina e' pari e le altre possono essere indifferentemente pari o dispari.

I casi favorevoli sono 15*29*28=12180

Poi tu dici: ora considero che tutti i casi favorevoli si possono considerare 3 volte (banalmente, tu dici, una volta considerati tutti i casi in cui la prima pallina e' pari, ripeto il tutto 3 volte, ovvero i casi in cui la seconda pallina e' pari, e la terza e' pari).

Ma cosi' facendo non consideri una cosa:

Tu non hai UNA pallina pari, ma 15.

Provo a spiegarti con un esempio "pratico".

Tra i vari raggruppamenti che hai contato (prima pallina pari) hai (ti metto proprio i numeri)..

2 , 4 , 5

4 , 2 , 5

(sono solo due dei 12180 raggruppamenti possibili)

quando tu moltiplichi per 3!/2! consideri i casi in cui la pallina pari prefissata (al primo posto) sia al secondo posto e al terzo posto (ovvero mischi le tre palline)

Quindi tra i vari casi, consideri anche

4, 2 , 5 (ovvero il primo dei due esempi di sopra, supposto il pescaggio delle palline in ordine diverso)

ma questo caso era gia' ricompreso nei primi 12180 raggruppamenti! Questa e' una duplicazione, che non va bene, perche' il caso l'abbiamo gia' considerato.

Quindi, per procedere come hai impostato tu, bisogna sottrarre dal risultato, tutti i casi che, nonostante il "cambio dell'ordine" avevi gia' considerato.

I casi da togliere sono 14910 e sono:

2 volte le combinazioni di tutte e tre le palline pari (che hai gia' considerato nel primo conteggio e che quindi dovrai escludere dal secondo e dal terzo caso) e 1 volta le combinazioni di due palline pari.

INFATTI:

Quando tu moltiplichi il tuo risultato per 3!/2!, consideri che le palline possono essere "mescolate" 2 volte (ovvero considerate (a,b,c), (a,c,b) (dove a e' la pallina pari, c,b le altre due indifferentemente) la tua moltiplicazione vuole comprendere anche b,a,c e c,a,b E c,a,b e c,b,a (per questo moltiplichi per 3!/2!).

Ora, supponi di voler scrivere tutte le combinazioni (da pazzi!! )

Avrai

PRIMA PALLINA PARI: (le altre due, non importa.... 15x29x28 )
Elenco
.....
2,4,6
......
......
4,2,6
.....
4,6,2

SECONDA PALLINA PARI (la prima e la terza non importa)

Mischio 2,4,6 (la pallina "FISSATA PARI" e' la "2" , che porto al secondo pescaggio

4,2,6

Ma questo caso gia' c'era!

TERZA PALLINA PARI

(La pallina "FISSATA PARI" (ovvero la "2" ) passa al terzo pescaggio..

Quindi

4,6,2 (e di nuovo)

Solo le combinazioni PARI - DISPARI - DISPARI non si ripetono nei casi successivi.

Le combinazioni PARI PARI PARI si ripetono 2 volte, quelle PARI DISPARI PARI si ripetono una volta (scambiando i due pari)

Quindi al tuo risultato dovrai togliere

2 (15x14x13) (ovvero i casi PARI PARI PARI tutti compresi nel caso "prima pallina pari" e quindi da escludere dal caso "seconda pallina pari" e "terza pallina pari";) e

15x15x14x(3!/2!) ovvero i casi PARI PARI DISPARI da escludere dal caso "seconda pallina pari" (qui il caso "terza pallina pari" non c'e' perche' la terza pallina e' dispari!)

Se fai il calcolo, vedi che torni al risultato del tuo insegnante.

E' stata dura, spero si capisca :)
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