indovina
indovina - Genius - 5427 Punti
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un quadrato ha un vertice nel punto di coordinate
[math](1:0)[/math]
e le diagonali si intersecano nel punto
[math](\frac{3}{2};\frac{3}{2})[/math]
determina le coordinate degli altri tre vertici e la misura del perimetro.

nn so proprio da dove inkominciare

e quet'altro=
di un triangolo rettangolo isoscele
[math] ABC[/math]
si sa che il vertice dell'angolo retto è
[math](2;1)[/math]
e l'equazione della retta
[math]BC[/math]
è
[math]y=8-2x[/math]
.determinare i vertici
[math]B e C[/math]

Questa risposta è stata cambiata da SuperGaara (24-06-07 11:18, 9 anni 3 mesi 5 giorni )
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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non si capiscono le coordinate nel primo prob... cmq ti dico il procedimento
indicativamente, sai che la diagonale di un quadrato è
[math]\ l \sqrt2 [/math]

imponi che la distanza tra vertice e centro del quadrato sia
[math]\ \frac {l sqrt2}{2} [/math]
, così trovi l'incognita l e poi gli altri vertici
il secondo ora nn ho voglia...
SuperGaara
SuperGaara - Mito - 120307 Punti
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Ti risolvo il primo

Conosci il vertice A ed il centro del quadrato. Il centro, ovvero il punto d'incontro delle diagonali, è anche il punto medio della diagonale AC. Con la formula del punto medio, mi ricavo le coordinate di C:

[math]X_O=\frac{X_A+X_C}{2}\\\frac{3}{2}=\frac{1+X_C}{2}\\3=1+X_C\\X_C=2[/math]

[math]Y_O=\frac{Y_A+Y_C}{2}\\\frac{3}{2}=\frac{0+Y_C}{2}\\Y_C=3[/math]

Sappiamo che le diagonali in un quadrato sono perpendicolari tra loro. Troviamo l'equazione della diagonale BD come retta perpendicolare ad AC passante per O.

[math]MrettaAC=\frac{Y_2-Y_1}{x_2-X_1}=\frac{3-0}{2-1}=3[/math]

[math]Mretta BD=-\frac{1}{3}[/math]

[math]rettaBD:\;y-\frac{3}{2}=-\frac{1}{3}*(x-\frac{3}{2})\\6y-9=-2x+3\\x+3y-6=0[/math]

Siccome non conosciamo i vertici B e D, occorre trovare un modo per calcolare le loro coordinate. Sappiamo che, essendo un quadrato, AO=BO=CO=DO. Prendiamo allora un punto generico P sulla retta BD e poniamo la sua distanza dal centro uguale alla distanza di A dal centro.

[math]P(x;\frac{6-x}{3})[/math]

[math]AO=\sqrt{(1-\frac{3}{2})^2+(0-\frac{3}{2})^2}=\sqrt{\frac{10}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{10}[/math]

[math]\sqrt{(x-\frac{3}{2})^2+(\frac{6-x}{3}-\frac{3}{2})^2}=\frac{1}{2}\sqrt{10}\\\frac{4x^2-12x+9}{4}+\frac{4x^2-12x+9}{36}=\frac{5}{2}\\\frac{36x^2-108x+81+4x^2-12x+9-90}{36}\\40x^2-120x=0\\x(x-3)=0\\x_1=0\\x_2=3[/math]

Il punto B sarà pertanto:
[math]B(0;2)[/math]

Il punto D sarà:
[math]D(3;1)[/math]

Potevi mettere anche che il primo era D e il secondo B, non cambia niente...

Ora che hai le coordinate puoi procedere facilmente al calcolo del perimetro che, sinceramente, dopo tutta sta barca di conti, non ho voglia di fare...:lol

Ma tanto è facile...cmq ricontrolla i conti, non si sa mai...
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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ti suggerisco il rpocedimento per il secondo... tanto poi ci pensa stefano a rovinare tutto :lol

calcola la distanza del punto (2,1) dalla retta y=... : quella sarà l'altezza relativa alla base del triangolo. essendo l'angolo al vertice A di 90, quelli alla base saranno di 45: in pratica il triangolo è metà di un quadrato, quindi l'altezza che ti trovi è l'esatta metà della base. allora ti trovi il punto in cui l'altezza interseca la base, e poi con la formula della distanza fra due punti ti trovi le coordinate di B e C. ovviamente per farlo devi esplicitare la y rispetto alla x (o viceversa) grazie all'equazione della retta (infatti i punti alla base soddisfano l'equazione della stessa)

colto da una gran voglia di fare, ho risolto pure questo... a parole :lol
cmq se hai problemi dimmelo, o dillo a gaara visto che nn ha niente da fare... :weapon:sega
SuperGaara
SuperGaara - Mito - 120307 Punti
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Xico, guarda che così non riesci a risolvere il problema :dontgetit!

Indovina, seguimi che adesso ti spiego come fare!

Hai il punto
[math]A(2;1)[/math]
e la retta di BC che è
[math]y=8-2x[/math]
.
Scrivo il fascio di rette passante per A:
[math](y-1)=m(x-2)[/math]
. Queste sono tutte le rette passanti per A. Io devo trovare quella retta che collega il vertice A ad uno degli altri due vertici che non conosco, quindi interseco questo fascio con la retta BC:
[math]\begin{cases} (y-1)=m(x-2)\\ y=8-2x
\end{cases} [/math]

Io ho fatto i calcoli su un foglio, ma non li scrivo tutti perchè col latex è una vero e proprio suicidio...:lol
Comunque, risolvendo per sostituzione, ottieni:

[math]x=\frac{2m+7}{m+2}\\y=\frac{4m+2}{m+2}[/math]

Queste saranno le coordinate di uno dei due vertici che non conosciamo. Ma a noi serve anche l'altro: per ottenerlo facciamo lo stesso identico procedimento, mettendo a sistema l'equazione della retta BC con l'equazione del fascio di rette per A, aventi questa volta per coefficiente angolare
[math]-\frac{1}{m}[/math]
(poichè a noi serve la retta perpendicolare a quella trovata prima):
[math]\begin{cases} (y-1)=-\frac{1}{m}(x-2)\\ y=8-2x
\end{cases} [/math]

Anche qui, per sostituzione, si trovano le coordinate:

[math]x=\frac{2-7m}{1-2m}\\y=\frac{4-2m}{1-2m}[/math]

Adesso serve trovare un'equazione risolvente che permetta di trovare m con cui ricavare il valore numerico delle coordinate. Siccome il triangolo è rettangolo e isoscele, basta porre AB=AC:

[math]\sqrt{(2-\frac{2-7m}{1-2m})^2+(1-\frac{4-2m}{1-2m})^2}=\sqrt{(2-\frac{2m+7}{m+2})^2+(1-\frac{4m+2}{m+2})^2}\\(\frac{2-4m-2+7m}{1-2m})^2+(\frac{1-2m-4+2m}{1-2m})^2=(\frac{2m+4-2m-7}{m+2})^2+(\frac{m+2-4m+2}{m+2})^2\\\frac{9m^2}{(1-2m)^2}+\frac{9}{(1-2m)^2}=\frac{9}{(m+2)^2}+\frac{9m^2}{(m+2)^2}\\m^2(m+2)^2+(m+2)^2=(1-2m)^2+m?2(1-2m)^2\\m^2(m^2+4m+4-1-4m^2+4m)+m^2+4+4m-1+4m-4m^2=0\\m^2(-3m^2+8m+3)-3m^2+8m+3=0\\(-3m^2+8m+3)(m^2+1)=0\\(-3m^2+8m+3)=0\\m1,2=\frac{4\pm\sqrt{16+9}}{3}\\m1,2=\frac{4\pi5}{3}\\m1=3\;e\;m2=-\frac{1}{3}[/math]

Adesso devi sostituire questi valori di m all'incognita delle coordinate per ottenerne il valore numerico.

Se prendiamo
[math]m=3[/math]
:
[math]B(\frac{13}{5};\frac{14}{5})\\C(\frac{19}{5};\frac{2}{5})[/math]

Se prendiamo
[math]m=-\frac{1}{3}[/math]
trovi gli stessi identici risultati, solo invertiti, ovvero:
[math]C(\frac{13}{5};\frac{14}{5})\\B(\frac{19}{5};\frac{2}{5})[/math]
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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gaara hai un pm
cmq ho ricontrollato e mi pare tutto ok il mio procedimento... magari se mi dici perchè nn arrivo alla fine secondo te posso rivedere meglio ;)
SuperGaara
SuperGaara - Mito - 120307 Punti
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Ti ho risposto al pm, ma forse intendiamo due cose diverse, prova a vedere...;)
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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ti ho risp
SuperGaara
SuperGaara - Mito - 120307 Punti
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Ti ho risp anch'io

Che post interessanti che facciamo qui :lol:lol:lol
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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già... ti ho risp :lol
SuperGaara
SuperGaara - Mito - 120307 Punti
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Risposto...:yes
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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hai un pm... anzi, ormai ne avrai molti :lol
SuperGaara
SuperGaara - Mito - 120307 Punti
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Credo proprio che anche tu ne abbia uno...

...cmq io cancello i pm ricevuti subito dopo averli letto, quindi ora ne ho 0...aspetto con ansia la tua risp!!!
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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risp
SuperGaara
SuperGaara - Mito - 120307 Punti
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xico87 : risp

quoto

...ora basta però dai...:lol:lol

Pagine: 12

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