fantasiagianvito
fantasiagianvito - Ominide - 4 Punti
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dato il trapezio di vertici A(-4;2) B(8;2) C(0;8 ) D(-4;8 ) tracciare una retta passante per A che divide il trapezio in due parti uguali

Questa risposta è stata cambiata da .anonimus. (14-01-16 20:11, 1 anno 7 mesi 8 giorni )
TeM
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Fissato un sistema di assi cartesiani
[math]O\,x\,y[/math]
e individuati i punti di coordinate
[math]A(-4,\,2)[/math]
,
[math]B(8,\,2)[/math]
,
[math]C(0,\,8)[/math]
,
[math]D(-4,\,8)[/math]
è lampante il fatto che il
quadrilatero
[math]ABCD[/math]
sia un trapezio rettangolo di area pari a
[math]48[/math]
. Inoltre,
dal momento che il triangolo rettangolo
[math]ACD[/math]
ha area pari a
[math]12[/math]
è evidente
che la retta passante per
[math]A[/math]
tale per cui divide
[math]ABCD[/math]
in due parti di area
pari a
[math]24\\[/math]
deve intersecare
[math]BC[/math]
in un proprio punto interno.
Alla luce di tutto ciò, dato che la retta passante per
[math]B[/math]
e per
[math]C[/math]
ha equazione
cartesiana
[math]\frac{y - 2}{8-2} = \frac{x - 8}{0 - 8}[/math]
ossia
[math]\small y = 8 - \frac{3}{4}\,x[/math]
, un proprio punto interno
[math]P[/math]
ha
generiche coordinate
[math]\left(x, \; 8-\frac{3}{4}\,x\right)[/math]
, per
[math]0 < x < 8\\[/math]
.
Dunque, non rimane che imporre
[math]\text{area}(ABP) = 24\\[/math]
, ossia:
[math]\frac{1}{2}\,\det\begin{pmatrix} -4 & 2 & 1 \\ 8 & 2 & 1 \\ x & 8-\frac{3}{4}\,x & 1 \end{pmatrix} = 24\\[/math]
da cui segue
[math]36 - \frac{9}{2}\,x = 24 \; \Leftrightarrow \; x = \frac{8}{3}\\[/math]
.
In definitiva, la retta passante per
[math]A(-4,\,2)[/math]
che divide
[math]ABCD[/math]
in due
parti congruenti passa anche per il punto
[math]P\left(\frac{8}{3}, \; 6\right)[/math]
e quindi risulta di equa-
zione cartesiana
[math]\frac{y - 2}{6 - 2} = \frac{x + 4}{\frac{8}{3} + 4}[/math]
ossia
[math]y = \frac{3}{5}\,x + \frac{22}{5}\\[/math]
.
Spero sia sufficientemente chiaro. ;)
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