sogeking
sogeking - Sapiens - 351 Punti
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non sto riuscendo a fare questo tipo di esercizio,mi blocco alla distanza punto retta,come si fa?trova le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza di equazione x2+y2-4y+3=0 condotte dal punto P(2,3),sarei grato se mi commentaste ogni passaggio,grazie
Max 2433/BO
Max 2433/BO - Genius - 15502 Punti
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Mi permetto di aggiungere un ulteriore sistema risolutivo è quella di considerare, di tutte le rette appartenenti al fascio di centro P, quelle (o quella, dipende dalla posizione di P rispetto alla circonferenza) che avranno una distanza del centro della circonferenza pari al suo raggio.

Quindi, per prima cosa individuiamo centro e raggio della circonferenza.

Data una circonferenza:

[math] x^2+y^2+ax+by+c=0 [/math]

Le coordinate del centro sono:

[math] x_0= -\frac {a}{2} [/math]

[math] y_0=-\frac {b}{2} [/math]

Il raggio è pari a:

[math] r=\sqrt {x_0^2+y_0^2-c} [/math]

Quindi, considerando la circonferenza del problema:

[math] x^2+y^2-4y+3=0 [/math]

avremo:

[math] x_0= 0 \; [/math]
manca il termine
[math] ax [/math]

[math] y_0= -\frac {-4}{2} = 2 [/math]

[math] r = \sqrt {2^2-3} = 1 [/math]

L'equazione del fascio di rette passanti per un punto
[math] x_1\;y_1\;[/math]
è:
[math] y-y_1=m(x-x_1) [/math]

quindi, dato il nostro punto P (2,3) l'equazione del fascio diventa:

[math] y-3=m(x-2) [/math]

[math] y=mx-2m+3 [/math]

L'equazione per calcolare la distanza di un punto da una retta è:

[math] d=\frac {y_0-mx_0-q}{\pm \sqrt {1+m^2}} [/math]

nel nostro caso il punto da considerare è il centro della circonferenza e la distanza è il raggio e la retta è quella del fascio, per cui avremo:

[math] x_0=0 [/math]

[math] y_0 = 2 [/math]

[math] d=r=1 [/math]

[math] m=m \;[/math]
è la nostra incognita
[math] q = -2m+3 [/math]

Quindi, sostituendo il tutto:

[math] \frac {2-m0+2m-3}{\pm \sqrt {1+m^2}}=1 [/math]

[math] 2m-1= \pm \sqrt {1+m^2} [/math]

[math] 4m^2-4m+1=1+m^2 [/math]

[math] 3m^2-4m=0 [/math]

[math] m(3m-4)=0 [/math]

Quindi le nostre due rette avranno coefficiente angolare pari a:

[math] m_1=0 [/math]

[math] m_2=\frac {4}{3} [/math]

Sostituendo questi valori nell'equazione del fascio di rette otteniamo che le due tangenti passanti per P sono:

[math] y = 3 [/math]

[math] y = \frac {4}{3}x +\frac {1}{3} [/math]

... ecco a te.

:hi

Massimiliano
Anthrax606
Anthrax606 - VIP - 21444 Punti
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Allora:
Imposta questi due sistemi:

[math]
\begin{cases} x^{2}+y^{2}-4y+3 \\
x-3=m\end{cases}
[/math]

[math]
\begin{cases} x^{2}+(mx-2m+3)^{2}-4(mx-2m+3)+3=0 \\
y=mx-2m+3\end{cases}
[/math]


Quindi ottieni questo:

[math]
\begin{cases} x^{2}+m^{2}x^{2}+4m^{2}+9-4m^{2}x-12m+6mx-4mx+8m-12-3=0 \\
y=mx-2m+3\end{cases}
[/math]

[math]
\begin{cases} x^{2}+m^{2}x^{2}+4m^{2}-4m^{2}x-4m+2mx=0\\
y=mx-2m+3\end{cases}
[/math]

Ora risolvi l'equazione:
[math](1+m^{2})x^{2}-2*(2m^{2}-m)x+(4m^{2}-4m)=0\\
(2m^{2}-m)^{2}-(1+m^{2})*(4m^{2}-4m)=0\\
4m^{4}+m^{2}-4m^{3}-4m^{2}+4m-4m^{4}+4m^{3}=0\\
-3m^{2}+4m=0\\
4m^{2}-2m[/math]

Ora devi mettere in "evidenza" il
[math]2[/math]
e il
[math]4[/math]
, quindi ottieni:
[math]2*(2m^{2}-m)\\
4*(m^{2}-\frac{m}{2})[/math]

OPPURE MOLTO SEMPLICEMENTE:
Imposti questo sistema:

[math]
\begin{cases} y-3=m(x-2) \\
x^{2}+y^{2}-4y+3=0\end{cases}
[/math]

Ottieni così la seguente equazione:

[math]y=(mx-2)+3\\
x^{2}+[(mx-2m)+3]^{2}-4[(mx-2m)+3]+3=0 [/math]

E da qui continui tu...
Alla fine otterrai che i coefficienti angolari sono due, quindi la circonferenza avrà due tangenti, le rette:
[math]y=3 [/math]
e
[math]3y-4x-1=0 [/math]

Spero di averti aiutato!!
Ciaoo :hi
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