au94
au94 - Sapiens - 354 Punti
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ciaooo a tutti!!! mi serve un grandissimo aiuto!!!
l'altro giorno sono stata assente e la prof di matematica ha spiegato le relazioni e ha lasciato esercizi su queste. io ho letto la lezione sul libro e ho fatto gli esercizi pero' non so se un esercizio e' giusto e poi non ne so fare un altro... x favore aiutatemi!!!
ecco la consegna del primo esercizio
dimostrare che la relazione di congruenza modulo 3, cosi' definita in Z
x[qui c'e' il segno di coincidenza ma non lo so fare]y(mod 3)<=>x-y=3k (k appartiene a Z), e' una relazione d'equivalenza e descrivere le classi di equivalenza.
io l'ho risolto in questo modo:
la relazione di congruenza x[qui c'e' il segno di coincidenza ma non lo so fare]y(mod3)<=> x-y=3k e' una relazione d'equivalenza. infatti essa e':
-riflessiva: ciascun numero e' uguale a se stesso;
-simmetria: se x=y allora y=x;
transitiva: se x=y e y=z, allora x=z.
le classi di equivalenza saranno in questo caso i diversi numeri relativi interi.

Per favore potete correggerlo???
ecco l'altro esercizio che stavolta non ho saputo fare:
dopo aver dimostrato che la relazione R definita in N (esclusi 0 e 2) da (a;b)R(c;d) <=> ad=bc e' una relazione di equivalenza, determinare le classi di equivalenza.
Per favore vi pregooo!!! Aiutatemi
grazie di cuore in anticipo!!!
aleio1
aleio1 - Mito - 18949 Punti
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au non ha senso quello che hai scritto. La relazione di equivalenza
[math]mod \ 3[/math]
su
[math]\mathbb{Z}[/math]
definita da
[math]x=y\Leftrightarrow x-y=3k, \ \ k\in \mathbb{Z}[/math]
"rende uguali" (fammi passare il termine e anche la notazione di uguaglianza) i numeri che divisi per 3 hanno lo stesso resto o equivalentemente i numeri la cui differenza è un multiplo di 3.
Dunque hai
[math]4=1 \ mod \ 3[/math]
,
[math]6=0 \ mod \ 3[/math]
perchè appunto sussiste la relazione di cui sopra.
Per verificare che è di equivalenza tale relazione devi sì mostrare che rispetta riflessività, simmetria e transitività ma non ha senso il tuo ragionamento a riguardo.

Riflessività:
[math]a=a \ mod \ 3\Leftrightarrow a-a=3k, \ k\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow 0=3k, \ k\in\mathbb{Z}[/math]
vero per
[math]k=0[/math]
.
Simmetria:
[math]a=b \ mod \ 3\Rightarrow b=a \ mod \ 3[/math]
Ciò è vero perchè
[math]a=b \ mod \ 3\Leftrightarrow a-b=3k, \ k\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow b-a=3\cdot(-k), \ -k\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow b=a \ mod \ 3[/math]

Transitività:
[math]a=b \ mod \ 3, \ b=c \ mod \ 3 \Rightarrow a=c \ mod \ 3[/math]
. Anche questo è vero perchè da
[math]a-b=3k \ k\in\mathbb{Z}, \ b-c=3j, \ j\in\mathbb{Z}[/math]
ricavi che
[math]b=3j+c, \ j\in\mathbb{Z}[/math]
che sostituito nella prima relazione la fa diventare:
[math]a-c-3j=3k\rightarrow a-c=3(k+j)[/math]
e poichè
[math]k+j\in\mathbb{Z}[/math]
allora hai la tesi
[math]a=c \ mod \ 3[/math]
.
Le classi di equivalenza di questa relazione saranno costituite dai numeri che hanno lo stesso resto se divisi per 3. E dato che il resto deve essere un numero compreso tra 0 e 3 (3 escluso) avrai tre diverse classi di equivalenza.

Il secondo puoi farlo da sola.
au94
au94 - Sapiens - 354 Punti
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grazieeee!!! :satisfied
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