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bambolinabella11 - Ominide - 42 Punti
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cos3x - cos5x = sen6x + sen2x
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Occorrono le formule di addizione e duplicazione del seno e del coseno.

[math] \cos (a+b)= \cos a \cos b - \sin a \sin b [/math]

[math] \sin (a+b)= \sin a \cos b + \sin b \cos a [/math]

[math] \sin (2a)= 2 \sin a \cos a [/math]

[math] \cos (2a) = 1-2 \sin^2 a [/math]

Prendiamo il primo addendo

[math] \cos 3x= \cos (x+2x)= \cos x \cos 2x - \sin x \sin 2x [/math]

E quindi per le formule di duplicazione

[math] = \cos x (1-2 \sin^2 x)- \sin x (2 \sin x cos x ) = \\ = \cos x -2 \sin^2 x \cos x -2 \sin^2 x \cos x = \\ = \cos x - 4 \sin^2 x \cos x [/math]

Secondo addendo

[math] \cos (5x)= \cos(2x+3x) = \cos 2x \cos 3x - \sin 2x \sin 3x [/math]

Seno e coseno di 2x lo conosciamo per le formule di duplicazione, coseno di 3x l'abbiamo gia' calcolato per il primo addendo.

Ci manca seno di 3x:

[math] \sin (3x) = \sin (x+2x)= \sin x \cos 2x + \cos x \cos 2x = \\ = \sin x (1-2 \sin^2 x) + \cos x (2 \sin x \cos x)= \\ = \sin x - 2 \sin^3x + 2 \sin x \cos^2 x [/math]

Da cui, ricordando la relazione fondamentale della trigonometria, ovvero

[math] \sin^2 x+ \cos^2 x = 1 \to \cos^2 x = 1- \sin^2 x [/math]

Avremo

[math] \sin x - 2 \sin^3 x +2 \sin x (1 - \sin^2 x) = 3 \sin x - 4 \sin^3 x[/math]

E quindi tornando a cos5x avremo

[math] (1- 2 \sin^2 x)(\cos x - 4 \sin^2 \cos x)-(2 \sin x \cos x)(3 \sin x-4 \sin^3 x) = \\ = \cos x -4 \sin^2 x \cos x -2 \sin^2 x \cos x +8 \sin^4 x \cos x-(6 \sin^2 x \cos x -8 \sin^4 x \cos x) = \\ = \cos x -6 \sin^2 x \cos x + 8 \sin^4 x \cos x - 6 \sin^2 x \cos x +8 \sin^4 x \cos x = \\ = 16 \sin^4 x \cos x -12 \sin^2 x \cos x + \cos x [/math]

Al primo membro in conclusione avremo

[math] \cos x - 4 \sin^2 x \cos x -16 \sin^4 x \cos x +12 \sin^2 x \cos x - \cos x = \\ = -16 \sin^4 x \cos x +8 \sin^2 x \cos x = 8 \sin^2 \cos x (-2 \sin^2 x + 1) [/math]

Aggiunto 22 minuti più tardi:

al secondo membro invece:

[math] \sin (6x)= \sin (2 \cdot 3x)= 2 \sin 3x \cos 3x [/math]

per quanto trovato prima

[math] = 2 ( 3 \sin x - 4 \sin^3 x )(\cos x -4 \sin^2 x \cos x) = \\ = (6 \sin x - 8 \sin^3 x )(\cos x - 4 \sin^2 x \cos x ) = \\ = 6 \sin x \cos x - 24 \sin^3 x \cos x -8 \sin^3 x \cos x + 32 \sin^5 x \cos x = \\ = 32 \sin^5 x \cos x - 32 \sin^3 x \cos x + 6 \sin x \cos x = \\ = 2 \sin x \cos x ( 16 \sin^4 x - 16 \sin^2 x + 3 )[/math]

a cui aggiungiamo sen 2x = 2senxcosx e avremo definitivamente al secondo membro:

[math] 2 \sin x \cos x ( 16 \sin^4 x - 16 \sin^2 x + 4 ) [/math]

Uguagliamo primo e secondo membro:

[math] 8 \sin^2 x \cos x ( 1-2 \sin^2 x) = 2 \sin x \cos x (16 \sin^4 x - 16 \sin^2 x + 4) \to \\ \to 8 \sin^2 x \cos x ( 1-2 \sin^2 x) - 2 \sin x \cos x (16 \sin^4 x - 16 \sin^2 x + 4)=0 \to \\ \to 2 \sin x \cos x (4 \sin x (1-2 \sin^2 x) - (16 \sin^4 x -16 \sin^2 x +4 ))=0[/math]

qui abbiamo un prodotto, poniamo ogni singolo fattore =0

[math] \sin x = 0 \to x= k \pi [/math]

[math] \cos x = 0 \to x= \frac{\pi}{2} + k \pi [/math]


[math] 4 \sin x - 8 \sin^3x -16 \sin^4 x + 16 \sin^2 x - 4 =0[/math]

[math] 16\sin^4x +8 \sin^3x -16 \sin^2 x - 4 \sin x + 4 =0[/math]

dividiamo tutto per 4

[math] 4 \sin^4 x + 2 \sin^3 x - 4 \sin^2 x - \sin x + 1 = 0[/math]

Poniamo sin x = t

[math] 4 t^4 + 2 t^3 - 4 t^2 -t+=0 [/math]

Che per Ruffini e' divisibile per
[math] t+1=0 [/math]
ovvero t=-1 annulla il polinomio
Aggiunto 26 minuti più tardi:

Facendo la divisione di Ruffini avrai

[math] (t+1)(4t^3-2t^2-2t+1)=0 [/math]

pertanto la nuova soluzione

[math] \sin x + 1 =0 \to \sin x = -1 \to x= \frac32 \pi +2 k \pi [/math]

Decomponendo con Ruffini il polinomio di terzo grado (che si annulla per t=1/2)

avrai

[math] 4t^3-2t^2+-2t+1 = (t- \frac12)(4t^2-2) [/math]

e quini

[math] t= \frac12 \to \sinx = \frac12 \to x= \frac{\pi}{6} + 2k \pi \ \ x= \frac{11}{6} \pi +2k \pi [/math]

Infine

[math] 4t^2-2=2(2t^2-1)=2( \sqrt2t+1)( \sqrt2-1) [/math]

E quindi

[math] \sin x = \frac{1}{\sqrt2}= \frac{\sqrt2}{2} \to x= \frac{\pi}{4} + 2 k \pi [/math]

e

[math] x= \frac74 \pi + 2 k \pi [/math]

e

[math] \sin x=- \frac{\sqrt2}{2} \to x= \frac34 \pi + 2k \pi \ \ x= \frac54 \pi + 2 k \pi [/math]

Pertanto la soluzione finale sara'

[math] x=k \pi \ U x= \frac{\pi}{2} + k \pi [/math]
ovvero riassumibile in
[math] x=k \frac{\pi}{2} [/math]

UNITO A

[math] x= \frac{\pi}{6} + 2k \pi \ \ U \ \ x= \frac{11}{6} \pi +2k \pi [/math]

UNITO alle ultime quattro soluzioni riassumibili in

[math] x= \frac{\pi}{4} + k \frac{\pi}{2} [/math]

In totale dunque

[math] x= k \frac{\pi}{4} \ \ U \ \ x= \frac{\pi}{6} + 2k \pi \ \ U \ \ x= \frac{11}{6} \pi +2k \pi [/math]

Salvo errori di conto dovrebbe essere cosi'.
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