aleio1
aleio1 - Mito - 18949 Punti
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ciao a tutti..alla vigilia degli esami di stato sono qui per chiedervi alcune precisazioni sullo svolgimento della seconda prova di matematica..

quello che mi preme innanzitutto sapere è:

nei quesiti dove si chiede di dimostrare che una data equazione ha un dato numero di soluzioni è sufficiente interpretare graficamente il problema?
es.

Si dimostri che l'equazione
[math]log(x)+x=0[/math]
ha un'unica radice reale.
E' sufficiente in questo caso far notare graficamente che la curva
[math]y=log(x)[/math]
interseca la retta
[math]y=-x[/math]
in un solo punto?
grazie:)
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Il metodo grafico, che io sappia, è sufficiente a dimostrare il numero di intersezioni tra le funzioni, pertanto se algebricamente non si riesce, direi che la dimostrazione grafica è sufficiente e va benissimo..

Comunque aspetterei che il nostro Tutor esprimesse il suo parere decisivo e finale:satisfied
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Aleio, ascolta, non voglio distruggerti una certezza, ma sebbene graficamente le cose si vedano, ciò non è sufficiente a dimostrare ciò che vuoi. Di solito, per fare questo tipo di cose, devi procedere al modo seguente:

supponi di volere risolvere l'equazione
[math]f(x)=0[/math]
: a tal fine, considera la funzione
[math]y=f(x)[/math]
e determinane il dominio. Fatto questo, calcola i limiti a tutti gli estremi degli intervalli che compongono il dominio: ciò ti permette di capire quale sia il segno sui vari intorni degli estremi del dominio. A questo punto, determina la derivata, i massimi, i minimi e la monotonia (crescenza o decrescenza) della funzione stessa.
Fatte tutte queste cose, puoi applicare il teorema di esistenza degli zeri affermando che ci saranno zeri solo in quelli intervalli dove la funzione cambia segno.

Nel caso da te proposto,
[math]f(x)=\log\ x+x[/math]
, avrai:
[math]D=(0,+\infty)[/math]

[math]\lim_{x\rightarrow 0^-} f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)=+\infty[/math]

[math]f'(x)=\frac{1}{x}+1=\frac{x+1}{x}[/math]
che risulta sempre positiva e mai nulla sul dominio.
A questo punto puoi concludere quanto segue: la funzione è sempre crescente e parte da meno infinito fino ad arrivare a più infinito. Ciò implica che essa cambierà segno solo una volta: se così non fosse, infatti, ci sarebbero dei massimi e minimi tra zero è più infinito, dovuti al fatto che la funzione interseca l'asse x più di una volta. Ciò implica che esiste una sola radice.

Il metodo grafico, a questo punto, ti permette di visualizzare velocemente dove ci sia questo zero (punto di intersezione, nel tuo caso, delle curva
[math]y=\log\ x[/math]
e
[math]y=-x[/math]
.
Spero di aver soddisfatto la tua richiesta.
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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io sono molto soddisfatto... :lol

(anche se la richiesta non è mia)..
aleio1
aleio1 - Mito - 18949 Punti
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mi sento soddisatto anche io..tornerò nelle prossime ore con qualche altra domanda da porvi aspettando la seconda prova..
grazie:)
adry105
adry105 - Genius - 3918 Punti
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Dopo il principio di esistenza degli zeri che permette di affermare che esiste almeno 1 soluzione nell'intervallo si passa al:

Primo teorema di unicità (che permette di affermare che se la derivata prima della funzione è sempre positiva o negativa nell'intervallo da te scelto allora esiste un'unica soluzione)

Se il primo teorema non si verifica si passa al
Secondo teorema di unicità (che permette di affermare che se la derivata seconda della funzione è sempre positiva o negativa nell'intervallo da te scelto allora esiste un'unica soluzione)

Se né la derivata prima né la derivata seconda sono sempre positivi o negative nell'intervallo vuol dire che hai sbagliato qualcosa =XD

Esistenza degli zeri >> esiste almeno una soluzione

Primo o Secondo teorema di unicità >> esiste un'unica soluzione
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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adry105: Dopo il principio di esistenza degli zeri che permette di affermare che esiste almeno 1 soluzione nell'intervallo si passa al:

Primo teorema di unicità (che permette di affermare che se la derivata prima della funzione è sempre positiva o negativa nell'intervallo da te scelto allora esiste un'unica soluzione)

Se il primo teorema non si verifica si passa al
Secondo teorema di unicità (che permette di affermare che se la derivata seconda della funzione è sempre positiva o negativa nell'intervallo da te scelto allora esiste un'unica soluzione)

Se né la derivata prima né la derivata seconda sono sempre positivi o negative nell'intervallo vuol dire che hai sbagliato qualcosa =XD

Esistenza degli zeri >> esiste almeno una soluzione

Primo o Secondo teorema di unicità >> esiste un'unica soluzione

Adry, io sono Ricercatore in Matematica, specializzatio in Analisi e Geometria differenziale, e sti teoremi di unicità di cui parli non gli ho mai sentiti. Mi scriveresti il loro enunciato corretto, per favore?
adry105
adry105 - Genius - 3918 Punti
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Premetto che la mia professoressa ha sempre spiegato dai sui libri, non ha mai usato il nostro libro, quindi non so da dove li abbia presi e che cosa siano: Comunque:

Primo Teorema di Unicità

Ipotesi:

1) se
[math]f[/math]
è cont. in
[math][a,b][/math]

2) se
[math]f(a)f(b)<0[/math]

3) se
[math]f'(x)\neq0 \forall x \in ]a,b[[/math]

[math]\Rightarrow \exists !c \in ]a,b[/ f(c)=0[/math]

Dimostr.:

Per l'ipote. 1) e 2) posso applicare il teorema di esist. degli zeri

[math]\Rightarrow \exists almeno un c \in ]a,b[ /f(c)=0[/math]

Per assurdo suppongo che
[math] \exists c' \in ]a,b[, c' \neq 0 /f(cPrimo)=0 [/math]
Se c'>c considero [c,c'] cont. e derivab.

f(c')=f(c)=0 segue per il teorema di Rolle che esiste un m appartenente a ]c,c'[ tale che f'(m)=0 >> In contraddizione con la terza ipotesi e quindi la soluzione deve essere unica =)

Non mi chiedere da dove l'ho presa perchè non lo so =)
aleio1
aleio1 - Mito - 18949 Punti
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effettivamente anche io ho sentito parlare di una sorta di teorema dell'unicità ma non l'ho mai studiato...in ogni caso avrei da porvi un'altra domanda..
Se una curva (ad esempio di 3° grado) è tangente all'asse x in un punto (a;0) e "secante" sempre all'asse x in un punto (b;0) la rispettiva equazione ha come soluzioni x=a ed x=b ma si può dire che x=a è una "soluzione doppia"??
L'ho letto in una risoluzione di un problema e mi chiedevo se ogni qual volta una curva è tangente all'asse x in un punto, in quel punto vi sono due zeri coincidenti.
grazie:)
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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adry105: Premetto che la mia professoressa ha sempre spiegato dai sui libri, non ha mai usato il nostro libro, quindi non so da dove li abbia presi e che cosa siano: Comunque:

Primo Teorema di Unicità

Ipotesi:

1) se
[math]f[/math]
è cont. in
[math][a,b][/math]

2) se
[math]f(a)f(b)<0[/math]

3) se
[math]f'(x)\neq0 \forall x \in ]a,b[[/math]

[math]\Rightarrow \exists !c \in ]a,b[/ f(c)=0[/math]

Dimostr.:

Per l'ipote. 1) e 2) posso applicare il teorema di esist. degli zeri

[math]\Rightarrow \exists almeno un c \in ]a,b[ /f(c)=0[/math]

Per assurdo suppongo che
[math] \exists c' \in ]a,b[, c' \neq 0 /f(cPrimo)=0 [/math]
Se c'>c considero [c,c'] cont. e derivab.

f(c')=f(c)=0 segue per il teorema di Rolle che esiste un m appartenente a ]c,c'[ tale che f'(m)=0 >> In contraddizione con la terza ipotesi e quindi la soluzione deve essere unica =)

Non mi chiedere da dove l'ho presa perchè non lo so =)


questo è il TEOREMA DI ESISTENZA DEGLI ZERI!!!!!

Di alla tua prof di non inventarsi i nomi, se no Cauchy esce dalla tomba e se la mangia! :)


@ aleio: non si può dire.... si DEVE dire (è proprio la definizione!).
aleio1
aleio1 - Mito - 18949 Punti
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mm..:) capisco ma perchè?
adry105
adry105 - Genius - 3918 Punti
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Boh non lo so =)

Aleio parti per esempio da una secante che interseca in due punti la circonferenza, portala ad una etremità della circonferenza facendo coincidere i due punti di intersezione; in questo caso ottieni una retta tangente, è proprio per questo che la sola condizione di tangenza corrisponde a 2 zeri coincidenti =)
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Definzione: un punto
[math]a\in\mathbb{R}[/math]
si dice zero di molteplicità m per una funzione
[math]f(x)[/math]
reale se
[math]f^{(k)}(a)=0,\quad k=0,\ldots,m-1,\qquad f^{(m)}(a)\neq 0[/math]
.
Equivalentemente questo vuol dire che in un intorno sufficientemente piccolo di
[math]a[/math]
si ha
[math]f(x)=(x-a)^m\cdot g(x)[/math]
e
[math]g(a)\neq 0[/math]
.
Riescia vedere dove si trova l'analogia con la tua situazione?
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