lucyrenzo
Rispondi Cita Salva
Scusatemi se non propongo soluzione ma non sono riuscita a svolgere questo esercizio preso da una prova d'esame. Si chiede di provare che:
|sin(nx)|<=n|sinx| con n appartente ai naturali e x appartenente ai reali.
Avevo iniziato con induzione ma mi sono fermata a scrivere la formula per n+1,soltanto che non sono riuscita a distinguere i valori del seno.

vi ringrazio per l'aiuto e l'attenzione.
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
Rispondi Cita Salva
mmm..
per n = 1 è verificata (base induttiva). ora diamo per scontato che sia valida per n e dimostriamo che se vale per n allora vale per n+1 (passo induttivo).

|sin((n+1)x)| ? <= ? (n+1)|sinx|
|sin(nx+x)| <= n|sin(x)| + |sinx|

formula di addizione del seno:
|sin(nx+x)| = |sin(nx)cosx + cos(nx)sin(x)|

disuguaglianza triangolare:
|sin(nx)cosx + cos(nx)sin(x)| <= |sin(nx)cos(x)| + |cos(nx)sin(x)| --> se dimostro che è minore o uguale di (n+1)|sin(x)| allora ho dimostrato che anche |sin((n+1)x)| soddisfa la relazione.

|sin(nx)cos(x)| + |cos(nx)sin(x)| <= n|sin(x)| + |sin(x)|

per i termini che ho sottolineato vale sicuramente che
|cos(nx)sin(x)| <= |sin(x)|
perchè il modulo del coseno è al massimo 1.


ora resta da verificare per i termini restanti:
|cos(x)sin(nx)| <= n|sin(x)|

per ipotesi era |sin(nx)|<=n|sinx|, ma vedi che |cos(x)sin(nx)|<=|sin(nx)|<=n|sin(x)|.

quindi la proprietà è vera per ogni n in N
lucyrenzo
Rispondi Cita Salva
xico...quando uno dice: perchè non strapparsi i capelli? tutto chiarissimo anche perchè avevo svolto correttamente sino a
sin(nx)cos(x)| + |cos(nx)sin(x)| <= n|sin(x)| + |sin(x)|
Soltanto che poi sono andata a complicarmi la vita considerando sil termine successivo il che mi ha dato problemi sul valore della x. Grazie di tutto.
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
Rispondi Cita Salva
Chiudo!
Questo topic è bloccato, non sono ammesse altre risposte.
Come guadagno Punti nel Forum? Leggi la guida completa
In evidenza
Classifica Mensile
Vincitori di novembre
Vincitori di novembre

Come partecipare? | Classifica Community

Community Live

Partecipa alla Community e scala la classifica

Vai al Forum | Invia appunti | Vai alla classifica

mc2

mc2 Genius 248 Punti

Comm. Leader
Corra96

Corra96 Moderatore 3218 Punti

VIP
Registrati via email