plum
plum - Mito - 23902 Punti
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Dimostrare che:

[math](1+q)(1+q^2)(1+q^4)...(1+q^{2n})=\frac{1-q^{2^{n+1}}}{1-q}[/math]

Ho verificato che valga per n=1 e poi ho moltiplicato entrambe le parti per
[math]1+q^{2n+2}[/math]
e mi viene (ora prendo in considerazione solo la seconda parte):
[math] \frac{1-q^{2^{n+1}}}{1-q}(1+q^{2n+2})= \frac{(1-q^{2^{n+1}})(1+q^{2n+2})}{1-q}=\frac{1-q^{2^{n+1}}+q^{2n+2}-q^{2^{n+1}+2n+2}}{1-q} [/math]

Ora non so proprio cosa fare!

Altra tipologia di esercizi: trovare la somma delle seguenti progressioni geometriche (ne posto solo una)

[math]1+\frac x{1+x^2}+\frac{x^2}{(1+x^2)^2}\;...+\frac{x^n}{(1+x^2)^n} [/math]

In questo caso vado ad "intuito" e pongo

[math]Tot=\frac{\frac x{1+x^2}}{1-\frac x{1+x^2}}[/math]

oppure c’è un metodo più generale? se ti danno già la formulina, ok, ma se non te la danno...

ok, mi sono appena accorto di aver scritto una c*****a nel calcolare il totale! l'ho presa come una successione infinita e non come una finita... a maggior ragione, qualcuna sa spiegarmi come fare?
SuperGaara
SuperGaara - Mito - 120308 Punti
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Scusa, ma non è verificato per n=1. Verrebbe infatti:

[math](1+q)(1+q^2)=\frac{1-q^3}{1-q}\\(1+q)(1+q^2)=\frac{(1-q)(1+q^2+q)}{1-q}\\(1+q)(1+q^2)=1+q^2+q\;falso[/math]

Sei sicuro di aver scritto il testo giusto? Perchè non viene né con n=0 né con n=2...

Nel secondo esercizio la formula per calcolare la somma dei primi n numeri di una progressione geometrica è la seguente:

[math]S_n=A_1\times \frac{1-q^n}{1-q}[/math]

dove
[math]S_n[/math]
è la somma dei primi n numeri,
[math]A_1[/math]
è il primo termine della progressione e q la ragione.
Per calcolarla, in questo caso, devi sapere quanti n numeri considerare...altrimenti la trovi solo in generale...
plum
plum - Mito - 23902 Punti
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no, è q alla (2 alla n+1), quindi con n=1 viene:

[math](1+q)(1+q^2)=\frac{1-q^{2^{1+1}}}{1-q}[/math]

[math](1+q)(1+q^2)=\frac{1-q^{2^2}}{1-q}[/math]

[math](1+q)(1+q^2)=\frac{1-q^4}{1-q}[/math]

[math](1+q)(1+q^2)=\frac{(1+q^2)(1-q^2)}{1-q}[/math]

[math](1+q)(1+q^2)=\frac{(1+q^2)(1+q)(1-q)}{1-q}[/math]

[math](1+q)(1+q^2)=(1+q^2)(1+q)[/math]

il problema è che non riesco a far tornare i conti: dovrebbe venire

[math]\frac{1-q^{2^{n+1}}+q^{2n+2}-q^{2^{n+1}+2n+2}}{1-q}=\frac{1-q^{2^{n+2}}}{1-q}[/math]

ma non so come
nel secondo non ho capito: cos'è la ragione?
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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ti hanno spiegato il metodo induttivo?
plum
plum - Mito - 23902 Punti
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si, conosco il metodo induttivo; altrimenti come le risolvi 'ste cose?
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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ho fatto il primo, vedi se riesci a fare il secondo ora

plum
plum - Mito - 23902 Punti
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mi sono perso l'ultimo passaggio (quello cerchiato):
[math]\frac{1-q^{2^{n+1}}}{1-q}=(1+q)*-(1+q^{2n})[/math]
dove io ho messo *- non capisco cosa tu abbia scritto
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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scusa, sono stato disordinato.. ho fatto solo dei puntini di sospensione (sarebbe una produttoria da 1+q a 1+q^(2n), il meno nn c'entra...):

[math]\frac{1-q^{2^{n+1}}}{1-q}=(1+q)(1+q^2)...(1+q^{2n})[/math]
plum
plum - Mito - 23902 Punti
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no, c'è qualcosa che non va... si era partiti da

[math](1+q)(1+q^2)(1+q^4)...(1+q^{2n})=\frac{1-q^{2^{n+1}}}{1-q}[/math]

ma tu sei arrivato a

[math](1+q)(1+q^2)(1+q^4)...(1+q^{2(n+1)})=\\=(1+q^{2^{n+1}})*(1+q)(1+q^2)(1+q^4)...(1+q^{2n})[/math]

che non sono la stessa cosa
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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principio di induzione:
sia P(n) una certa proprietà vera per n=0 (oppure n=1). supposta per vera P(n), se P(n) implica P(n+1) allora la proprietà è verificata per tutti i naturali.. più schematicamente

[math] 1) P(0) \ \ vera \\
2) P(n) \Rightarrow P(n+1) [/math]
se sono soddisfatti qsti due punti allora la proprietà è vera. il pto 1) è la base induttiva (la parte sopra la riga orizzontale che ho fatto nella risoluzione).. si chiama "base" perchè serve per dimostrare il pto 2: è quello che ho fatto (un po' cme costruire i piani di un grattacielo: prima fai quello sotto, poi quello sopra); il pto 2) è il passo induttivo (la parte sotto la riga).
se nn hai studiato qsto metodo nn mi viene in mente altro, almeno per ora
plum
plum - Mito - 23902 Punti
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si, conosco il principio di induzione; ma da quel che ho capito, tu non sei riuscito a dimostrare che P(n)-->P(n+1) (questo intendevo col mio post precedente)
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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te lo scrivo meglio, dammi 10 minuti che finisco una roba
plum
plum - Mito - 23902 Punti
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ok
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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scusa ma prima avevo scambiato un esponente con un fattore... cmq se provi con n=3 nn esce, forse hai sbagliato a scrivere l'esercizio

ps: lascia perdere che ho fatto con n=0, che tra l'altro nn esce ugualmente
plum
plum - Mito - 23902 Punti
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in effetti, con n=0 non avrebbe senso... se non che, se si sostituisce a (1+q^(2n)) il fattore
(1+q^(2^n)), i conti tornano, anche per n=0. probabilmente è un errore di stampa (anche perchè il libro è vecchiotto e non è mai stato ristampato)

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