aleio1
aleio1 - Mito - 18949 Punti
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Allora...abbiamo un triangolo qualsiasi ABC...su ogni lato segnamo i punti medi che chiameremo L M ed N...ora...la domanda è semplice...

In che rapporto sta l'area del triango LMN a quella del triangolo ABC?
plum
plum - Mito - 23902 Punti
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ieri ci ho pensato 3 ore... e nulla! e pensare che è uno di quei teoremi che ho sempre saputo perfettamente!

allora, M punto medio di AC e N punto medio di BC; traccio ora la parallela a BC passante per M e chiamo P l'interseziopne tra questa retta e la retta AB (poi dimostrerò che P=L)

per il teorema di talete, AP/PB=PM/BC ---> 1/2=PM/BC ---> PM=BC/2=CN

ora considero i triangoli AMP e MCN; essi hanno
1) AMP=MCN (angoli corrispondenti)
2) AM=MC (per ipotesi)
3) MP=CN (appena dimostrato)
per il teorema LAL i due triangoli sono congruenti, in particolare MCN=AMP, APM=MNC e MN=AP.

considero i triangoli CMN e MNP; essi hanno
1) PMN=CNM (alterni interni)
2) MN=MN
3) MP=CN (dimostrato prima)
per LAL sono congruenti.

PBN=180-PAM-MCN=180-PAM-AMP=APM=MNC

PNB=180-PNM-MNC=180-CMN-MNC=MCN

ora considero i triangoli AMP e PBN; essi hanno
1) PBN=MNC
2) PNB=MCN
3) CN=NB (per ipotesi)
per ALA sono congruenti, in particolare PB=MN. visto che MN=AP, PB=AP ---> P è il punto medio di AB (P=L). il triangolo ABC si divide in 4 triangoli congruenti, quindi l'area di PMN è un quarto di quella di ABC (e infatti i lati di PMN sono tutti la metà di quelli di ABC).

faccio una piccola aggiunta: MP//CB e MP=CB/2 ---> ML//CB e ML=CB/2. questo è il teorema dei punti medi: congiungendo due punti medi di un triangolo si ottiene un segmento parallelo all'ultimo lato e lungo la metà di esso
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