fra@fra
fra@fra - Erectus - 57 Punti
Salva
1) Trovare la misura della corda comune alle due circonferenze: x"+y"-6x+3y-2=0 e x"+y"-4x+5y-8=0 (ho provato a fare il sistema tra le due circonferenze con il metodo della sottrazione, poi l'asse radicale l'ho messo a sistema con una delle due ma ovviamente non so continuare)
2)Determinare le equazioni delle due circonferenze tangenti alle rette r: y=3/4x-19/4, s: y=-4/3x+14, ed aventi il centro sulla retta t: y=x+1. Verificare che solo una delle due circonferenze ottenute incontra gli assi; determinare le coordinate dei punti d'intersezione e trovare la superficie del quadrilatero avente i vertici in tali punti. (qui non ho proprio l'idea di cosa fare)
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
Salva
La corda comune e' proprio il segmento che unisce i due punti di intersezione.

Quindi:

[math] \{x^2+y^2-6x+3y-2=0 \\ x^2+y^2-4x+5y-8=0 [/math]

Per sottrazione

[math] \{ -2x-2y+6=0 \\ x^2+y^2-4x+5y-8=0 [/math]

E quindi

[math] \{ y=-x+3 [/math]

Che e' l'equazione dell'asse radicale.
fra@fra
fra@fra - Erectus - 57 Punti
Salva
questo l'ho fatto e mi è uscito. Non l'ho fatto esattamente così... è molto più complicato usando questi schemi! quando ho trovato l'asse radicale l'ho messo a sistema e ho trovate prima le due incognite di x e poi sostituendo all'asse radicale ho trovato le incognite di y... infine ho fatto la distanza tra questi punti per trovare la corda. l'asse radicale mi viene x+y-3=0, ovviamente tu non hai sbagliato... non l'hai solamente ridotto. solo il secondo non riesco ad impostarlo bene... ci sto provando e riprovando!!

Aggiunto 1 minuti più tardi:

ah ecco l'hai modificato! ok... puoi dirmi per quanto riguarda il secondo problema??
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
Salva
A questo punto metti a sistema la retta con una circonferenza, sostituendo dunque ai valori di y il controvalore (-x+3)

[math] x^2+(-x+3)^2-4x+5(-x+3)-8=0 [/math]

Quindi

[math] x^2+x^2+9-6x-4x-5x+15-8=0 [/math]

Sommi i monomi simili

[math] 2x^2-15x+16=0 [/math]

Da cui

[math] \Delta= 15^2-4(2)(16)=97 [/math]

[math] x_1= \frac{15+ \sqrt{97}}{4} \to y_1=-\frac{15+ \sqrt{97}}{4}+3 \to y_1= \frac{-3- \sqrt{97}}{4} [/math]

e

[math] x_2= \frac{15- \sqrt{97}}{4} \to y_2=- \frac{15- \sqrt{97}}{4}+3 \to y_2= \frac{-3- \sqrt{97}}{4} [/math]

Aggiunto 26 minuti più tardi:

Per quanto riguarda il secondo.

Sai che il centro sta sulla retta
[math] y=x+1 [/math]
pertanto detta
[math] x_0 [/math]
l'ascissa generica del centro, l'ordinata sara'
[math] x_0+1 [/math]

Il centro delle circonferenze generiche per cui le rette saranno tangenti, sara' equidistante dalle due rette.

Le due rette in forma implicita, saranno:

[math] 3x-4y-19=0 [/math]
e
[math] 4x+3y-42=0 [/math]

La distanza del centro generico dalle due retta, ribadisco, dovra' essere uguale:

[math] \frac{|3x_0-4(x_0+1)-19|}{\sqrt{9+16}}= \frac{|4x_0+3(x_0+1)-42|}{ \sqrt{9+16} [/math]

Semplifichiamo i denominatori

[math] |3x_0-4x_0-4-19|=|4x_0+3x_0+3-42| [/math]

Eliminiamo i valori assoluti

[math] -x_0-23= \pm (7x_0-39) [/math]

Da cui

[math] -x_0-23=7x_0-39 \to 8x_0=16 \to x_0=2 [/math]

[math] -x_0-23=-7x_0+39 \to 6x_0=62 \to x_0= \frac{31}{3} [/math]

I centri dunque saranno:

[math] x_1=2, y_1=3 [/math]

[math] x_2= \frac{31}{3}. y_2=\frac{34}{3} [/math]

Consideriamo il primo centro, ricordando che l'equazione generica della circonferenza e'

[math] x^2+y^2+ax+by+c=0 [/math]

E che
[math] x_C= - \frac{a}{2}=2 \to a=-4 [/math]

[math] y_C= - \frac{b}{2}= 3 \to b=-6 [/math]

Quindi la circonferenza sara'

[math] x^2+y^2-4x-6y+c=0 [/math]

Per quanto riguarda c, potremmo riproporre la condizione di tangenza, o meglio, calcolare la distanza del centro da una delle due rette e porre che sia uguale al raggio:

Prendiamo, ad esempio,
[math] 3x-4y-19=0 [/math]

Ditanza retta-centro:

[math] \frac{|3(2)-4(3)-19|}{\sqrt{9+16}}= \frac{|-25|}{5}=5 [/math]

Quindi il raggio sara' 5.

[math] \sqrt{x_C^2+y_C^2-c}=5 \to \sqrt{4+9-c}=5 \to \sqrt{13-c}=5 \to 13-c=25 \to c=38 [/math]

La circonferenza sara'

[math] x^2+y^2-4x-6y+38=0 [/math]

Intersezione con gli assi:

Asse y:x=0
[math] y^2-6y+38=0 [/math]

Da cui (utilizzando la ridotta)

[math] y= 3 \pm \sqrt{9-38} [/math]
che non ha intersezioni (Delta negativo)
Analogamente riprova gli stessi passaggi con l'altra circonferenza.
Questo topic è bloccato, non sono ammesse altre risposte.
Come guadagno Punti nel Forum? Leggi la guida completa
In evidenza
Classifica Mensile
Vincitori di novembre
Vincitori di novembre

Come partecipare? | Classifica Community

Community Live

Partecipa alla Community e scala la classifica

Vai al Forum | Invia appunti | Vai alla classifica

mc2

mc2 Genius 281 Punti

Comm. Leader
Daniele

Daniele Blogger 27611 Punti

VIP
Registrati via email