Newton_1372
Newton_1372 - Genius - 2097 Punti
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Problema n.1: Guidare contro l'aria
Un auto inizialmente ferma si muove con un'accelerazione costante a. Per effetto della resistenza dell'aria tuttavia la forza che agisce su di essa non è costante ma varia sia con la velocità che nel tempo e può essere espressa dalla relazione
[math]F_a=-v(A+B\sin{t})[/math]
Determinare il lavoro che l'auto deve compiere per contrastare l'attrito dell'aria nell'intervallo di tempo
[math]\frac{\pi}{2}[/math]

Problema n.2: La molla volante
Una massa m appesa a una molla di massa trascurabile con una forza di richiamo uguale a k, è agganciata alla carlinga di un aereo. Tenendo presente che, volando l'aereo orizzontalmente con un'accelerazione uniforme
[math]a=\frac{1}{2}g[/math]
, la forza inerziale della massa fa tendere la molla, determinare: a) il lavoro compiuto dall'aereo sul sistema molla massa in t secondi; b) Il lavoro compiuto dall'aereo sulla sola molla. si trascurino le oscillazioni della molla.
Problema n.3 Lavoro di una forza in componenti cartesiane
Su un punto materiale che si muove nel piano (x,y) e la cui posizione in funzione del tempo è data da r = 2ti-t^3j agisce una forza F = x^2i-xyj. Determinare il lavoro compiuto da tale forza nell'intervallo di tempo 1<t<3 esprimendolo in unità cgs

Problema n.4 Fisica aliena
In un altro pianeta esiste una forza gravitazionale definita nel seguente modo
[math]F = \frac{mgx}{R}i+mg\(\frac{2y}{R}-1\)j[/math]
Questa forza agisce lungo un percorso curvo di equazione
[math]y=\frac{3x^2}{4R}[/math]
.
Una massa puntiforme si allontana dall'origine delle coordinate (posto al centro della curva). Per quale valore di x la forza è sufficiente per allontanare nuovamente la massa dal centro?


TENTATIVI DI RISOLUZIONE
Problema 1 Ho provato a esprimere il lavoro contro l'aria come la somma dei singoli lavorini per ogni istante di tempo. Questo implicherebbe che
[math]W = Spostamento\int_0^{\frac{\pi}{2}}F(t)dt[/math]
Ho pensato che essendo il moto uniformente accelerato posso esprimere lo spostamento come
[math]x(\frac{\pi}{2})=\frac{1}{2}a\frac{\pi^2}{4}[/math]
. Il nostro integrale diventerebbe dunque
[math]\frac{1}{2}a\frac{\pi^2}{4}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}-at(A+B\sin{t})[/math]
E' giusto?


Problema 2 Dovrebbe valere sempre la relazione
[math] W=Fx[/math]
e
[math]F =ma=m\frac{1}{2}g[/math]
e anche
[math]x=\frac{1}{2}\frac{1}{2}gt^2[/math]
quindi il lavoro dovrebbe venire
[math] W=\frac{1}{8}mg^2t^2[/math]
ma ciò non corrisponde al risultato...inoltre non ho idea di come fare la seconda parte del problema, quella relativa alla seconda molla...cioè ho una vada idea che la resistenza inerziale della massa fa si che essa si "inclini" e la allunga in modo obliquo...ma non ho idea di come fare i calcoli precisi...
Problema 3 Mi viene -1480 erg, ma il libro dice -1804....potreste dirmi che cosa dovrei mettere esattamente sotto integrale?

Problema 4 Non ho capito bene la seconda domanda...che significa "far allontanare la massa dal centro?

Aggiunto 20 secondi più tardi:

Maybe i need help no one answer to me

Aggiunto 9 ore 11 minuti più tardi:

tired

Aggiunto 17 ore 16 minuti più tardi:

please plese please
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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1) Il primo mi sembra giusto: l'unica cosa è che non credo ci vada quel meno.

2) Al momento c'è qualcosa che non mi quadra su questo esercizio. Ci penso un po'.

3) Dunque, qui devi parametrizzare tutto. Tu sai che

[math]r(t)=2t\ i-t^3\ j[/math]

per cui
[math]x(t)=2t,\ y(t)=t^3[/math]
e quindi in componenti si ha
[math]F(t)=(x^2,-xy)=(4t^2,2t^4)[/math]
.
A questo punto, essendo
[math]dr=(2\ i-3t^2\ j)\ dt[/math]
segue
[math]dW=F(t)\cdot dr=4t^2\cdot 2\ dt+(2t^4)\cdot(-3t^2)\ dt=(8t^2-6t^6)\ dt[/math]

e quindi

[math]W=\int_1^3 F(t)\cdot dr=\int_1^3(8t^2-6t^6)\ dt=\left[\frac{8t^3}{3}-\frac{6t^7}{7}\right]_1^3=-\frac{37892}{21}=-1804,38[/math]

(Nota che non hai bisogno di fare conversioni, in quanto puoi supporre di aver usato sin dall'inizio le unità in cgs).


4) Credo faccia riferimento al centro della curva: essendo essa una parabola, stiamo parlando del vertice. Esso, ovviamente, è il punto di coordinate
[math]O(0,0)[/math]
origine del sistema di riferimento.
Per calcolare il lavoro in un punto qualsiasi
[math](x,y)=\left(x,\frac{3x^2}{4R}\right)[/math]
devi calcolare, posto
[math]dr=dx\ i+dy\ j[/math]

[math]dW=F(x,y)\cdot dr=\left(\frac{mgx}{R},mg\left(\frac{3x^2}{2R^2}-1\right)\right)\cdot\left(dx,\frac{3x}{2R}\ dx\right)=\\
=\left[\frac{mgx}{R}+mg\frac{3x}{2R}\left(\frac{3x^2}{2R^2}-1\right)\right]\ dx=\frac{mg}{2R}\left[\frac{9x^3}{2R^2}-x\right]\ dx[/math]

e quindi il lavoro totale dal centro ad un punto
[math]X[/math]
qualsiasi è
[math]W=\int_0^X\frac{mg}{2R}\left[\frac{9x^3}{2R^2}-x\right]\ dx=\frac{mg}{2R}\left[\frac{9x^4}{8R^2}-\frac{x^2}{2}\right]_0^X=\frac{mg}{2R}\left[\frac{9X^4}{8R^2}-\frac{X^2}{2}\right][/math]

Ora, secondo me quello che devi fare è porre
[math]W=0[/math]
: infatti questo ti direbbe che la forza gravitazionale non svolge lavoro sul corpo e che, quindi, il corpo stesso può sfuggire alla sua influenza. Ne segue che
[math]\frac{9X^4}{8R^2}-\frac{X^2}{2}=0[/math]

e quindi

[math]\frac{9X^2}{8R^2}-\frac{1}{2}=0\ \Rightarrow\ X^2=\frac{4R^2}{9}[/math]

da cui le soluzioni

[math]X=\pm\frac{2R}{3}[/math]
.
Nota che tali soluzioni si presentano a causa della strana forma della forza gravitazionale: con quella "terrestre" avresti un punto X che tende all'infinito dalla sorgente della gravità come punto di fuga dalla forza.
Newton_1372
Newton_1372 - Genius - 2097 Punti
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Problema 1. Il lavoro mi viene
[math]W=-\frac{\pi^3}{24}Aa^2+2a^2B[/math]
.
Giusto? (N.B Ho calcolato l'integrale di ogni lavorino, la derivata della posizione in funzione del tempo è la velocità, quindi dW=-v^2(A+Bsint)=-a^2t^2(A+Bsint), da integrare da 0 a pi/2).

Problema n.3 Risolto

Aggiunto 12 minuti più tardi:

Problema n.4 Evidentemente il significato di "far allontanare nuovamente la massa dal centro" non era semplicemente questo, perchè lei non ha fatto altro che porre il lavoro totale = 0, e questo era quello che era stato richiesto prima dal problema, e io sono riuscito a risolvere il primo quesito. Inoltre, nei risultati risulta essere
[math]x=\frac{\sqrt{2}}{3}R[/math]

Aggiunto 2 minuti più tardi:

Dunque il dilemma è COSA SIGNIFICA FAR ALLONTANARE NUOVAMENTE LA MASSA DAL CENTRO? il libro da un suggerimento: conviene scegliere x in modo che inizialmente il lavoro diminuisca al crescere di x. RItorno a dire che non capisco cosa vuole sapere il problema...
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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A questo punto non lo capisco neanche io!
Newton_1372
Newton_1372 - Genius - 2097 Punti
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E mi dica quell'integrale dell'esercizio 1 come si risolve? E' giusto il risultato che ho trovato (vedere post **********************). E l'esercizio sulla molla? (esercizio 2)
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Allora

[math]\int_0^{\pi/2} at(A+B\sin t)\ dt=a\left[A\int_0^{\pi/2}t\ dt+B\int_0^{\pi/2} t\sin t\ dt\right][/math]

Ora il primo integrale è

[math]\int_0^{\pi/2} t\ dt=\left[\frac{t^2}{2}\right]_0^{\pi/2}=\frac{\pi^2}{8}[/math]

mentre, per il secondo, usando la formula di integrazione per parti si ha

[math]\int_0^{\pi/2} t\sin t\ dt=\left[-t\cos t\right]_0^{\pi/2}+\int_0^{\pi/2}\cos t\ dt=\left[\sin t\right]_0^{pi/2}=1[/math]

da cui

[math]\int_0^{\pi/2} at(A+B\sin t)\ dt=a\left[A\frac{\pi^2}{8}+B\right][/math]

e quindi

[math]W=\frac{\pi^2}{8}a\cdot a\left[A\frac{\pi^2}{8}+B\right]=a^2\frac{\pi^2}{8}\left[A\frac{\pi^2}{8}+B\right][/math]

Per il secondo: ancora non riesco a trovare una soluzione.
Newton_1372
Newton_1372 - Genius - 2097 Punti
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problema con gli integrali risolto. Passiamo al n.2

Una massa m appesa a una molla di massa trascurabile con una forza di richiamo uguale a k, è agganciata alla carlinga di un aereo. Tenendo presente che, volando l'aereo orizzontalmente con un'accelerazione uniforme 1/2 g, la forza inerziale della massa fa tendere la molla, determinare: a) il lavoro compiuto dall'aereo sul sistema molla massa in t secondi; b) Il lavoro compiuto dall'aereo sulla sola molla. si trascurino le oscillazioni della molla.

Per come è dato il problema, l'accelerazione 1/2g è diretta orizzontalmente, quindi non ha a che fare con la forza di gravità (nonostante c'è la g). Mi sembra di capire che l'accelerazione dell'aereo causa un allungamento della molla, a causa della resistenza inerziale di m. Il lavoro sulla molla sarebbe quindi integrale da 0 a t di F(t)dl, con dl la derivata dell'equazione dell'allungamento della molla. Dalla legge di Hooke si ha dl = F/k.
La domanda è: cosa ci devo mettere al posto della F? Come posso calcolarmi la Forza? Devo metterci la forza di richiamo della molla o la forza dovuta all'accelerazione orizzontale? (sarebbe 1/2 mg)

Aggiunto 18 secondi più tardi:

...

Aggiunto 6 ore 59 minuti più tardi:

...
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Stavo riflettendo su un fatto: sulla massa appesa alla molla agiscono tre forze.

La forza peso
[math]P=-mg\hat{j}[/math]

La forza elastica
[math]F=ky\hat{j}[/math]
(è positiva in quanto il righiamo avviene verso l'alto)
La forza di trascinamento dell'aereo
[math]F=ma\hat{i}[/math]

Credo che tu debba partire da queste.
Newton_1372
Newton_1372 - Genius - 2097 Punti
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L?allungamento non dovrebbe essere perfettamente verticale...l'accelerazione orizzontale 1/2g dovrebbe far "allungare" la molla in senso obliquo...il problema diventerebbe dunque calcolarci questo misterioso allungamento
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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# Newton_1372 : L?allungamento non dovrebbe essere perfettamente verticale...l'accelerazione orizzontale 1/2g dovrebbe far "allungare" la molla in senso obliquo...il problema diventerebbe dunque calcolarci questo misterioso allungamento

L'allungamento è obliquo: devi sommare vettorialmente le forze!
Newton_1372
Newton_1372 - Genius - 2097 Punti
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Allora. Ho presupposto che
[math]W_{tot}=W_x+W_y[/math]
e che
[math]W_x=\int_{0}^t F_xdxdt \int_{0}^t \frac{1}{2}mgD(\frac{1}{4}gt^2)=\\=\int_{0}^t \frac{1}{2}mg\frac{1}{2}gt =\int_{0}^t\frac{1}{4}mg^2t = \frac{1}{8}mg^2t^2[/math]

Aggiunto 5 minuti più tardi:

la determinazione di Fy mi sembra più difficile. Essa è una forza prettamente variabile, in quanto dipende SOLO dalla forza di reazione della molla data dalle legge di Hooke. QUindi dovrei fare:
[math]W_y=\int_{0}^{t}F_ydydt=\int_{0}^{t}(ky-mg)dy=\int_{0}^{t}kydy-mgdy [/math]

Aggiunto 5 minuti più tardi:

la molla si allunga con moto accelerato; quindi dovrebbe valere la relazione
[math]y=\frac{1}{2}at^2=\frac{1}{2}gt^2[/math]
sostituendo
[math] Wy=\int_{0}^t k\frac{1}{2}gt^2gt-mg^2t=\int_{0}^t \frac{1}{2}kg^2t^3-mg^2t[/math]

Aggiunto 5 minuti più tardi:

iL PROBLEMA è che il risultato dovrebbe venire
[math]\frac{1}{8k}mg^2t^2[/math]
, e solo il W_x sembra avvicinarsi fin troppo al risultato...non riesco a capire che ho combinato
Aggiunto 12 secondi più tardi:

.
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