nicola1008
nicola1008 - Habilis - 255 Punti
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qualcuno mi può spiegare la logica e il metodo per risolvere i problemi con le equazioni di secondo grado???? vi prego, voglio la spiegazione perchè non me ne esce mai neanche uno.
per esempio
1) in un triangolo rettangolo un cateto è lungo 9 in meno dell'ipotenusa e l'altro cateto i 3/4 del primo. calcola l'area del triangolo [ris. 486]
2) un trapezio isoscele è iscritto in una semicirconferenza di diametro 70. la base minore supera di 14 il doppio dell'altezza. determina l'area del trapezio
Ali Q
Ali Q - Mito - 23936 Punti
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Soluzione 1:

Chiamo:
[math]c1[/math]
= primo cateto
[math]c2[/math]
= secondo cateto
[math]i[/math]
= ipotenusa
La formula che permette di determinare l'area del triangolo è:
[math]c1*c2/2 = A[/math]

Si sa che:
[math]c1 = i-9 [/math]
[math]c2 = 3/4*c1 = 3/4*(i-9)= 3/4*i -27/4[/math]

[math]i[/math]
,
[math]c1[/math]
e
[math]c2 [/math]
sono "legati" tra loro attraverso il teorema di Pitagora. Posso quindi scrivere, alla luce delle informazioni che il testo del problema fornisce:
[math]i^2 = c1^2 + c2^2 = (i-9)^2 + (3/4i-27/4)*2[/math]
[math]i^2 = (i^2 +81 -18i) + (9/16 i^2 + 729/16 -81/8i)[/math]
[math]0 = +81 -18i + 9/16i^2 + 729/16 -81/8i[/math]
[math]0 = + 9/16i^2 -18i -81/8 i +81 +729/16[/math]
[math]0 = + 9/16i^2 -144/8i -81/8 i +1296/16 +729/16[/math]
[math]0 = + 9/16i^2 -225/8i + 2025/16[/math]
[math]0 = + 9i^2 -450i + 2025[/math]
[math]0 = i^2 -50i + 225[/math]

[math]delta = 50^2 -4*225 = 2500 -900 = 1600 = 40^2[/math]
[math]i = 50 (+ o -)40/2[/math]
[math]i= 90/2 = 45 cm oppure 10/2 = 5 cm.[/math]
Tuttavia non posso accettare questa seconda soluzione, perchè essendo inferiore a 9, porterebbe ad un valore di
[math]c1[/math]
negativo (
[math]c1 = i-9[/math]
) e questo, trattandosi di un segmento, non è possibile.
Quindi
[math]i = 45 cm.[/math]

[math]c1 = i-9 = 36 cm [/math]
[math]c2 = 3/4*i -27/4 = 135/4 -27/4 = 108/4 = 27 cm[/math]

[math]A = c1*c2/2 = 36*27/2 = 486 cm^2[/math]

Soluzione 2:

Chiamo:
[math]B[/math]
= prbase maggiore
[math]b[/math]
= base minore
[math]h[/math]
= altezza
[math]l[/math]
= lato obliquo
La formula che permette di determinare l'area del trapezio è:
[math](B+b)*h/2 = A[/math]
Occorre determinare questi tre dati.

Se il trapezio è inscritto nella semicirconferenza, significa che la sua base maggiore ha la stessa lunghezza del diametro. Quindi:
[math]B= 70 cm.[/math]
Allo stesso modo, se è inscritto nella cirocnferenza

Si sa poi che:
[math]b = 2*h + 14 [/math]

Unisco il centro della semicirconferenza con i due vertici della base minore.
Si forma così un traingolo isoscele, che ha per lati obliqui i raggi della semicirconferenza (
[math]70/2 = 35 cm[/math]
) e per base la base minore.
Altezza rispetto alla base di questo traingolo è pari ad
[math]h[/math]
, e lo divide in due triangoli rettangoli identici. Basandomi su questa costatazione posso determinare il valore di b utilizzando il teorema di Pitagora:
[math](b/2)^2 = 35^2 - h^2[/math]

Ma sappiamo che
[math]b = 2*h + 14 [/math]
Quindi:
[math](2h+14)^2 = 35^2 - h^2[/math]
[math](4h^2 + 56h + 196) = 1225 - h^2[/math]
[math]4h^2 +h^2 + 56h + 196 -1225 =0 [/math]
[math]5h^2 + 56h -1029 =0 [/math]

[math]delta = 56^2 -4*5*-1029 = 3136 +20580 = 23716 = 154^2[/math]
[math]h = 56 (+ o -)154/10[/math]
Non posso accettare la seconda soluzione, perchè porta ad un valore di
[math]h[/math]
negativo, e questo, trattandosi di un segmento, non è possibile.
Quindi
[math]h = 21.[/math]

[math]b = 2*h + 14 = 42 + 14 = 56 [/math]

[math]Area = (B+b)*h/2 = (56+70)*21/2 = 1323 cm^2[/math]

Ciao!
nicola1008
nicola1008 - Habilis - 255 Punti
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Ottimo. Il problema è... Come faccio io, quando mi trovo davanti un problema a sapere come devo risolverlo??
Ali Q
Ali Q - Mito - 23936 Punti
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Be', Nicola... in realtà non è semplice rispondere.
Ti dirò che non sei il primo a farmi questa domanda, me l'ha già chiesto anche qualcun altro, ma la verità è che una risposta vera e propria non c'è.
In matematica si diventa bravi con la pratica, non ci sono altri segreti: più problemi fai e più diventi bravo e sai destreggiarti bene con le formule.
Posso però provare a darti qualche consiglio.

Innanzi tutto, studia bene la teoria, in modo da sapere tutte le formule a memoria.Quando poi ti accingi a risolvere il problema, scriviti da una parte quelle che pensi ti serviranno.
Se ad esempio si parla di un trapezio, segnati tutte le formule che riguardano il trapezio e i triangoli, perchè sicuramente saranno quelle che dovrai usare, non si scappa.
Insieme a quelle ricordati sempre anche il teorema di Pitagora, perchè nel 95% dei casi occorrerà utilizzare anche quello. In geometria, senza teorema di Pitagora, non c'è praticamente partita.

Una volta che hai sotto gli occhi le formule, segnati i dati del problema, e tramite le formule cerca di capire come impostare la soluzione: quali formule permettonocdi calcolare certe grandezze, quali dati può essere utile sapere....

Destreggiati con queste formule in modo da ottenere UNA SOLA INCOGNITA in una equazione di seconda grado.
Dopodichè la risolvi come sai dall'algebra, ed è fatta.

Di più non so proprio cosa dire. In matematica si diventa bravi solo a poco a poco, a furia di esercizi ed esperienza.

Ciao, spero di esserti stata utile!
bimbozza
bimbozza - Genius - 19548 Punti
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Devi prima di tutto cercare di capire a cosa associare l'incognita x.
Di solito c'è sempre un elemento da cui dipendono tutti gli altri, ecco, quella è la tua x.
Poi guardi le informazioni in tuo possesso e valuti cosa puoi fare con quei dati:
-nel primo problema avevi 3 lati di un triangolo rettangolo quindi l'unica relazione possibile era il teorema di pitagora;
-nel secondo problema avevi solo le basi e l'altezza, quindi l'unica possibilità era di costruire un triangolo e cercare una relazione o con pitagora come ha fatto Ali Q, o con il teorema di euclide considerando il triangolo rettangolo (visto che è inscritto in una semicirconferenza)formato dalla base maggiore, il lato obliquo e una diagonale...
una volta ricavata una relazione che ti permetta di dare un valore ai vari elementi, ti ricavi la soluzione.
Ali Q
Ali Q - Mito - 23936 Punti
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Brava, Bimbozza!
L'hai detto molto meglio e molto più chiaramente di me!
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