Dario93
Dario93 - Sapiens Sapiens - 1330 Punti
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Salve! Mi aiutereste cortesemente con questi 2 problemi? Domani avrei il compito e dato che con questi 2 non so da dove iniziare vorrei che qualcuno mi illuminasse la mente! Grazie in anticipo

1)Due triangoli simili hanno le aree rispettivamente di 240 cm^2 e di 540 cm^2.
Sapendo che il perimetro del primo è lungo 90 cm, calcolare la misura del perimetro del secondo.

2)In un triangolo rettangolo la somma dell'ipotenusa e del multiplo secondo 100 della proiezione di un cateto su di essa è uguale a 221 cm e la proiezione dell'altro cateto sull'ipotenusa è uguale a 23,04 cm.
Determinare il perimetro del triangolo.
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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1) I triangoli sono simili.

chiamiamo b la base e a e c gli altri due lati del triangolo

[math]b_1:b_2=c_1:c_2=a_1:a_2=h_1:h_2[/math]

consideriamo solo i lati

[math]b_1:b_2=c_1:c_2=a_1:a_2[/math]

Per la "proprietà del comporre" delle proporzioni questo vuol dire che

[math]b_1+c_1+a_1:b_2+c_2+a_2=b_1:b_2[/math]

che in parole povere vuol dire che anche i perimetri stanno tra loro con la stessa proporzione con cui stanno i lati corrispondenti

Consideriamo base e altezza dei triangoli

[math]b_1:b_2=h_1:h_2[/math]

Sempre applicando le proprietà delle proporzioni avremo

[math] b_1h_1:b_2h_2:h_1^2:h_2^2[/math]

Ovvero ho moltiplicato il primo membro da ogni parte per h1 ed il secondo per h_2
(Se non è chiaro, prova a scrivere la proporzione così:

[math]\frac{b_1}{b_2}= \frac{h_1}{h_2}[/math]

Moltiplicando ambo i membri per

[math] \frac{h_1}{h_2}[/math]

l'uguaglianza non perde di significato.)

questo significa che il rapporto tra il prodotto del doppio delle aree sta al rapporto dei quadrati delle altezze, che come sappiamo hanno lo stesso rapporto dei quadrati delle basi, dei lati e, come dimostrato prima, dei perimetri.

Allora sarà

[math]480:1080= 90^2 : x^2[/math]

x^2=18225
x=135

il perimetro del secondo triangolo è 135cm

In generale la proporzione tra misure lineari al quadrato è uguale alla proporzione tra misure di superficie (e tra misure lineari al cubo è uguale alla proporzione tra misure di volume)
Dario93
Dario93 - Sapiens Sapiens - 1330 Punti
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Ok grazie tutto chiaro!
Ma l'altro come si risolve? Non riesco ancora a farlo...
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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2)In un triangolo rettangolo la somma dell'ipotenusa e del multiplo secondo 100 della proiezione di un cateto su di essa è uguale a 221 cm e la proiezione dell'altro cateto sull'ipotenusa è uguale a 23,04 cm.
Determinare il perimetro del triangolo

sappiamo che la somma delle proiezioni dei cateti sull'ipotenusa è uguale all'ipotenusa.

chiamiamo, ad esempio, la proiezione del cateto x e l'ipotenusa y.

Allora 100x+y=221 (il multiplo secondo 100 + l'ipotenusa)
e y-x=23,04 (la differenza tra l'ipotenusa e la proiezione del cateto è l'altra proiezione)

Risolvi il sistema e trovi x e y
A questo punto per il primo teorema di Euclide sai che la proiezione del cateto per l'ipotenusa è uguale al quadrato di quel cateto.

trovi i due cateti.... e il perimetro.
Dario93
Dario93 - Sapiens Sapiens - 1330 Punti
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Cavolo è vero! Stupidamente non sono arrivato a ricavarmi la seconda equazione per il sistema! Grazie mille ancora!
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