Alessio1996
Alessio1996 - Ominide - 31 Punti
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Mi potreste risolvere questi problemi che non ci capisco niente!! >.<
Teorema delle secanti e delle tangenti;
1) E' data una circonferenza di diametro ab e raggio r. Una corda cd è parallela ad ab (ac<ad); una corda ef perpendicolare ad ab incontra cd in g. La distanza della corda EF da O è 3/5r. Quale deve essere la distanza della corda CD da O, affinchè risulti CG x GD=3/5r^2?

Similitudine;
2)E' dato un quadrato ABCD, il cui lato misura 4a. Sulla diagonale AC, considera un punto P la cui distanza da A è tripla della distanza da C. Dal punto P traccia una retta che incontra il lato AB in x e il lato CD in y. Determina la distanza di X da A, sapendo che la somma delle misure delle aree dei triangoli APX e PCY è 5/2a^2

Aggiunto 18 ore 49 minuti più tardi:

??
Max 2433/BO
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1)
Per il t. delle corde sappiamo che:

FG:CG = GD:EG

e cioè

CG*GD = FG*EG = (3/5)r^2

Chiamando H il punto in cui EF interseca AB, abbiamo che:

GH distanza tra AB e CD (nostra incognita)
OH distanza tra EF e O = (3/5)r

Essendo EF perpendicolare ad AB, possiamo calcolare la misura del tratto FH applicando il t. di pitagora:

FH = sqr (OF^2 - OH^2)

ma OF = r, per cui abbiamo

FH = sqr (r^2 - ((3/5)r)^2) = sqr (r^2 - (9/25)r^2) =

= sqr ((16/25)r^2) = (4/5)r

Essendo EF perpendicolare al diametro AB abbiamo che i tratti FH e EH sono uguali (criteri di congruenza tra triangoli rettangoli) per cui possiamo scrivere:

FG = FH + GH = (4/5)r + GH

EG = EH - GH = (4/5)r - GH

quindi

FG*GH = (4/5)r^2

((4/5)r + GH)*((4/5)r - GH) = (4/5)r^2

((4/5)r)^2 - GH^2 = (4/5)r^2

(16/25)r^2 - (4/5)r^2 = GH^2

GH^2 = (1/25)r^2

GH = sqr ((1/25)r^2) = (1/5)r

... adesso vedo se riesco a risolvere anche il secondo

:hi

Massimiliano

Aggiunto 1 ora 18 minuti più tardi:

Scusa abbi pazienza ma mi sono dovuto assentare...

... adesso riprendo a pensarci su.

Aggiunto 37 minuti più tardi:

2)
forse ci siamo...

allora i triangoli CPY e APX sono triangoli simili in quanto hanno gli angoli corrispondenti congruenti:

Angolo in C = Angolo in A (angolo tra le diagonale e un lato del quadrato ABCD)

Angolo PYC = Angolo PXC (angoli alterni interni di parallele, i lati AB e CD del quadrato, tagliati da secante, il segmento XY)

di conseguenza anche gli angoli APX e CPY sono uguali.

Se i triangoli sono simili, il rapporto delle aree è uguale al quadrato del rapporto tra i lati, quindi:

sappiamo che

AP/PC = 3

di conseguenza

Aapx / Acpy = (AP/PC)^2 = 3^2 = 9

cioè

Aapx = 9*Acpy

ma sappiamo anche che

Aapx + Acpy = (5/2)a^2

sostituendo l'espressione di Aapx in funzione di Acpy abbiamo

9*Acpy + Acpy = (5/2)a^2

10*Acpy = (5/2)a^2

Acpy = (5/2)a^2 * (1/10) = (1/4)a^2

e di conseguenza l'area Aapx

Aapx = 9*Acpy = (9/4)a^2

A questo punto calcoliamo la misura di AC e AP

AC = lq*sqr2 = 4a*sqr 2

sappiamo che AP=3*PC, di conseguenza

AP = (3/4)*AC = (3/4)*4a*sqr 2 = 3a*sqr 2

chiamando PK l'altezza del triangolo APX rispetto al lato AX, abbiamo che anche i triangoli ABC e AKP sono simili, sempre perchè hanno gli angoli corrispondenti congruenti, quindi possiamo scrivere la seguente proporzione:

AC:AP = CB:PK

e da questa ricavare PK

PK = (AP*CB)/AC = ((3a*sqr 2)*4a)/4a*sqr 2 = 3a

A questo punto, avendo il valore dell'area del triangolo APX e dell'altezza PK, possiamo ricavare la misura di AX:

Aapx = AX*PK/2

da cui

AX = Aapx*2/PK = ((9/4)a^2)*2/3a = (3/2)a

... ecco fatto finalmente :D :D

:hi

Massimiliano
Alessio1996
Alessio1996 - Ominide - 31 Punti
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Ciao Massimiliano,
entrambi giusti! Grazie infinite del tempo dedicato loro xDD
Max 2433/BO
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... prego figurati...

... mi hanno fatto un po' dannare (soprattutto il secondo), ma alla fine è andato tutto per il verso giusto.

:hi

Massimiliano
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