matteo28
matteo28 - Sapiens - 325 Punti
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ciao a tutti ho il seguente problema in allegato. Ho anche la risuluzione solo che non la "capisco"... potete spiegarmela? grazie 1000 :)
Max 2433/BO
Max 2433/BO - Genius - 15502 Punti
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Ciao Matteo,

ho provato a leggere la soluzione, ma visto che nella figura non è presente alcun riferimento, e non ho capito molto che passaggi sono stati effettuati, per cui ti propongo la mia versione.

Nota: ho ridisegnato io il triangolo in questione riportando le misure date in proporzione rispetto a quelle date nel problema, in modo da poter effettuare le misure degli angoli (con una funzione del programma) per verificare che i passaggi e i calcoli che eseguo sono corretti.

Nel triangolo ho chiamato a,b,c i lati opposti ai rispettivi angoli A,B,C.

Il problema da le misure di:

AB = c = 196,50 m
Ha (altezza riferita al lato a) AK = 179,55 m
Hb (altezza riferita al lato b) BH = 131,30 m

Questo problema si risolve applicando ripetutamente il teorema dei seni:

[math] \frac {a}{sen \alpha} \;=\; \frac {b}{sen \beta} \;=\; \frac {c}{sen \gamma} \;=\; costante [/math]

dove

[math] \alpha \;angolo\;A[/math]

[math] \beta \;angolo\;B[/math]

[math] \gamma \;angolo\;C[/math]

Iniziamo considerando il triangolo rettangolo ABK, rettangolo in K, vogliamo trovare il valore dell'angolo B:

per il t. dei seni possiamo scrivere:

[math] \frac {AK}{sen \beta} \;=\; \frac {c}{sen 90^\circ} [/math]

ma sen 90° = 1 per cui

[math] \frac {AK}{sen \beta} \;=\; c [/math]

[math] \frac {179,55}{sen \beta} \;=\; 196,50 [/math]

[math] sen \beta \;=\; \frac {179,55}{196,55} \;=\; 0,914 [/math]

da cui

[math] \beta \;=\; arcosen \; 0,914 \;=\; 66,06^\circ [/math]
(come misurati dal programma)
Adesso consideriamo il triangolo rettangolo ABH, rettangolo in H, e cerchiamo il valore dell'angolo A.

Il discorso è identico al precedente per cui:

[math] \frac {BH}{sen \alpha} \;=\; c [/math]

[math] \frac {131,30}{sen \alpha} \;=\; 196,50 [/math]

[math] sen \alpha \;=\; \frac {131,30}{196,55} \;=\; 0,668 [/math]

da cui

[math] \alpha \;=\; arcosen \; 0,668 \;=\; 41,91^\circ [/math]
(come misurati dal programma)
Il terzo angolo si trova semplicemente per differenza, ricordando che la somma degli angoli interni di un triangolo è 180°:

[math] \gamma \;=\; 180\;-\;(41,91\;+\;66,06) \;=\; 72,03^\circ [/math]
(come misurati dal programma).
Per trovare le misure di a e b si ricorre sempre al t. dei seni:

[math] \frac {a}{sen \alpha} \;=\; \frac {b}{sen \beta} \;=\; \frac {c}{sen \gamma} \;=\; costante [/math]

[math] \frac {a}{sen 41,91} \;=\; \frac {b}{sen 66,06} \;=\; \frac {196,50}{sen 72,03} [/math]

[math] \frac {a}{0,668} \;=\; \frac {b}{0,914} \;=\; \frac {196,50}{0,951} [/math]

[math] \frac {a}{0,668} \;=\; \frac {b}{0,914} \;=\; 206,63 [/math]

per cui

[math] \frac {a}{0,668} \;=\; 206,63 [/math]

[math] a \;=\; 206,63 \;.\; 0,668 \;=\; 138,03 \;m [/math]

[math] \frac {b}{0,914} \;=\; 206,63 [/math]

[math] b \;=\; 206,63 \;.\; 0,914 \;=\; 188,86 \;m [/math]

A questo punto la misura dell'area è immediata:

[math] S\;=\; \frac {a\;.\;AK}{2} \;=\; \frac {138,03\;.\;179,55}{2} \;=\; 12391,6433 \;m^2 [/math]

oppure

[math] S\;=\; \frac {b\;.\;BH}{2} \;=\; \frac {188,86\;.\;131,30}{2} \;=\; 12398,659 m^2 [/math]

i due risultati differiscono tra loro per le approssimazioni operate nelle operazioni precedenti.

Fammi sapere...

:hi

Massimiliano
matteo28
matteo28 - Sapiens - 325 Punti
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ciao non una cosa un po stupida perchè hai fatto 131,30/196,55 e non 196,55/131,30? cmq grazie il resto l'ho capito
Max 2433/BO
Max 2433/BO - Genius - 15502 Punti
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Se ho capito bene ti riferisci al calcolo di
[math] sen\;\alpha [/math]
mediante il t. dei seni...
Allora noi pariamo da questa:

[math] \frac {131,30}{sen\;\alpha} \;=\; 196,50 [/math]

moltiplichiamo tutto per
[math] sen\;\alpha [/math]
e otteniamo:
[math] 131,30 \;=\; 196,50 \;.\;sen\;\alpha [/math]

da cui

[math] sen\;\alpha \;=\; \frac {131,33}{196,50} [/math]

... ecco fatto.

:hi

Massimiliano
matteo28
matteo28 - Sapiens - 325 Punti
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ho capito il calcolo... ma perchè app. il teorema dei seni? non si possono usare le formule dei triangoli rettangoli?
Max 2433/BO
Max 2433/BO - Genius - 15502 Punti
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Se applichi le formule dei triangoli rettangoli io posso, con il t. di pitagora applicato ai due triangoli ABK e ABH calcolarmi BK e AH...

Poi dovrei cercare di calcolarmi i pezzettini rimanenti ossia CH e CK, però dei due triangoli rettangoli BHC e AKC so veramente pochino, in pratica conosco solo AH e BK, non ho neanche elementi (angoli ordinatamente congruenti) che mi consentano di considerarli simili ai triangoli ABK e ABH in modo da metterne in proporzione i lati... quindi, dopo aver calcolato BK e AH io sarei fermo (a meno che, al momento, mi sfugga qualche formula dei triangoli rettangoli applicabile a questo caso).

Quindi ho ripiegato sul t. dei seni perchè è molto più diretto e semplice da usare con i pochi elementi noti che dava il problema .

:hi

Massimiliano
matteo28
matteo28 - Sapiens - 325 Punti
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okok :) grazie 1000
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