tony995
tony995 - Habilis - 199 Punti
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Salve,
come è lo svolgimento di questo problema.
ecco la traccia:
La retta r di equazione y=-2x+2 interseca l'asse x nel punto A e la retta s, parallela a r e passante per il punto P(-1; 8 ), interseca l'asse x nel punto B. Determinare l'equazione della retta passante per l'origine e che interseca r in D e s in C in modo che il trapezio ABCD sia isoscele.

Ho calcolato il punto A e B ma non riesco a trovare la nuova retta che trova D e C.
Grazie a chi mi aiuto
tony995
bimbozza
bimbozza - Genius - 19548 Punti
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Allora, visto che A e B già li hai, procedo dal punto della ricerca della retta per C e D.

Una generica retta che passa per l'origine ha equazione y=mx.
Per trovare il punto D dobbiamo mettere in sistema y=mx e y=-2x+2 e otterremo
[math]x= \frac{2}{m+2}[/math]
[math]y= \frac{2m}{m+2}[/math]
. Lo stesso vale per il punto C. Quindi, dal sistema y=mx e y=-2x+6 otteniamo
[math]x= \frac{6}{m+2}[/math]
e
[math]y= \frac{6m}{m+2}[/math]
. Queste sono le coordinate dei tuoi punti. Adesso, affinchè il tuo trapezio sia isoscele devi porre la distanza tra C e D uguale a quella tra A e B.
La distanza tra A e B è pari alla differenza delle loro coordinate x (3-1= 2), quindi
[math]\sqrt {(\frac{6m}{m+2} -\frac{2m}{m+2})^2+ (\frac{6}{m+2}-\frac{2}{m+2})^2}=2 [/math]
[math]\sqrt {(\frac{4m}{m+2})^2+ (\frac{4}{m+2})^2}=2 [/math]
[math]\sqrt {(\frac{16(m^2+1)}{(m+2)^2})=2 [/math]
[math] 4 \frac{sqrt{ m^2 +1}}{m+2}=2 [/math]
[math] 4 sqrt{ m^2 +1}=2(m+2) [/math]
[math] 2 sqrt{ m^2 +1}=(m+2) [/math]
si eleva al quadrato da entrambe le parti
[math] 4( m^2 +1)=(m+2)^2 [/math]
[math] 4m^2+4=m^2+4+4m [/math]
[math] 3m^2-4m=0 [/math]
[math] m(3m-4)=0 [/math]
quindi m=0 o m=4/3 le soluzioni vanno controllate nell'equazione ottenuta prima di elevare al quadrato, ma entrambe sono accettabili.
Quindi:
se m=0 otteniamo l'asse x e quindi di nuovo A e B,
se m= 4/3 ed essendo la retta cercata una retta passante per l'origine, y=4x/3
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