valenta93
valenta93 - Sapiens Sapiens - 1213 Punti
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ciao a tutti!
ho un problema a risolvere questo problema

determina sulla diagonale AC di un quadrato di lato a un punto P tale che, detti M e N le proiezioni di P sui lati AB, e Bc rispettivamente, l'aerea del rettangolo di lati PM e PN sia 3/16 dell'area del quadrato.

vorrei che qualcuno mi aiutasse... le soluzioni sono [PM=1/4a; PN=3/4a]
grazie in anticipo
the.track
the.track - Genius - 12440 Punti
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Sappiamo che:
[math]AM=PM[/math]
[math]PM=NB[/math]
[math]AP=PM*\sqrt{2}[/math]
[math]PC=a-AM[/math]
[math]CN=\frac{PC}{\sqrt{2}}[/math]
Adesso hai tutte le relazioni che ti servono. Se hai dubbi chiedi. ;)
valenta93
valenta93 - Sapiens Sapiens - 1213 Punti
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the.track:
[math]AP=PM*\sqrt{2}[/math]
[math]CN=\frac{PC}{\sqrt{2}}[/math]
Adesso hai tutte le relazioni che ti servono. Se hai dubbi chiedi. ;)

queste due ultime relazioni come le trovi?
scusa ti sembrerò cretina ma quest'anno non ci capisco più niente di matematica...
the.track
the.track - Genius - 12440 Punti
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Siccome siamo sulla diagonale di un quadrato le proiezioni formano "piccole metà" di quadrato. In pratica AMP è metà quadrato. Perciò
[math]AP=PM*\sqrt{2}[/math]
.
Le relazioni che ti ho posto sono tutte frutto di questa considerazione delle metà quadrato.
Se hai ancora dubbi dimmelo che allora ti spiegherò passo passo ciò che devi fare.

P.S.: ti allego il disegno.
valenta93
valenta93 - Sapiens Sapiens - 1213 Punti
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non ho capito...
noi non abbiamo mai fatto cose di questo tipo, non riesco a capire come faccia il triangolo AMP metà el quadrato....
pensavo di fare così inizialmente:

CN=NP=MB
PM=NB=AP


MB= x
BN= t

x + t = a

x * 7 = 3/16 a alla seconda

ma poi non so come andare avanti, quindi ho abbandonato l'idea...
dovrebbe venirmi un equazione di 2° grado
the.track
the.track - Genius - 12440 Punti
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Ok dammi un attimo che ti posto il procedimento per bene che così capisci.

———————————————

Per prima cosa ti devo correggere. Nella maniera più assoluta non puoi dire che
[math]PM=AP[/math]
.
Ora parto con la spiegazione.

Con Pitagora possiamo calcolare
[math]AC[/math]
in funzione di
[math]a[/math]
.
[math]AC=\sqrt{AB^2+CB^2}[/math]
Sappiamo che
[math]AB[/math]
e
[math]CB[/math]
sono uguali e sono lati dello stesso quadrato ossia pari ad
[math]a[/math]
. Possiamo quindi esprimere la relazione suddetta in funzione di
[math]a[/math]
ossia:
[math]AC=\sqrt{a^2+a^2}[/math]
[math]AC=\sqrt{2a^2}[/math]
Semplificando otteniamo che:
[math]AC=a*\sqrt{2}[/math]
Da qui deriva ciò che ti ho detto prima.
Adesso poniamo:
[math]AP=x[/math]
Di conseguenza avremo che:
[math]PC=a*\sqrt{2}-x[/math]
Adesso notiamo che l'angolo AMP è retto.
L'angolo
[math]CAB=PAM[/math]
perché sono delimitati dalle stesse semirette vale 45° perché metà di un angolo retto. Possiamo dunque dire che il triangolo AMP è un triangolo rettangolo e a causa dei suoi due angoli PAM e AMP di 45° possiamo affermare che è metà di un quadrato di lato MP. A questo punto applichiamo Pitagora sul triangolo AMP:
[math]x=\sqrt{AM^2+MP^2}[/math]
Sapendo che AM e MP sono uguali in quanto lati di un quadrato, possiamo scrivere:
[math]x=\sqrt{2AM^2}[/math]
A noi serve conoscere AM, quindi:
[math]x=AM*\sqrt{2}[/math]
Isoliamo AM:
[math]\frac{x}{\sqrt{2}}=AM[/math]
Adesso sappiamo che:
[math]MB=a-AM[/math]
Adesso hai tutte le variabili in funzione di
[math]x[/math]
. Imposta la relazione data dal problema e risolvi l'equazione.
Se hai ancora dubbi chiedi pure. ;)
valenta93
valenta93 - Sapiens Sapiens - 1213 Punti
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ok grazie mille =) ^^
the.track
the.track - Genius - 12440 Punti
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Ho modificato sopra.
valenta93
valenta93 - Sapiens Sapiens - 1213 Punti
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grazie mille! fin qui l'ho capito..
ma non mi è ancora venuto xD


allora dai dati del problema so che

A(rettangolo)= 3/16 A(quadrato)
quindi
PM*PN=3/16 a alla seconda

PM= =AM


ma AM= x / radice di 2


PN=MB
MB= a-AM

sostituisco

x /radice di 2 * a - x /radice di 2 = 3/16 a alla seconda



fin qui è giusto?
ti giuro che sto impazzendo!
the.track
the.track - Genius - 12440 Punti
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si perfetto! Scritto in modo chiaro:
[math]\frac{x}{\sqrt{2}}*(a-\frac{x}{\sqrt{2}})=\frac{3}{16}a^2[/math]
Comunque è giusto. Dimmi se ti servono i passaggi di risoluzione successivi.
valenta93
valenta93 - Sapiens Sapiens - 1213 Punti
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ti ho allegato il file... =)

http://i44.tinypic.com/2czd64k.jpg
the.track
the.track - Genius - 12440 Punti
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Dammi un po' di tempo che ti posto anche la fase finale. ;)

———————————————

[math]\frac{x}{\sqrt{2}}*(a-\frac{x}{\sqrt{2}})=\frac{3}{16}a^2[/math]
[math]\frac{x}{\sqrt{2}}*\frac{(\sqrt{2}a-x)}{\sqrt{2}}=\frac{3}{16}a^2[/math]
[math]\frac{\sqrt{2}ax-x^2}{2}=\frac{3}{16}a^2[/math]
Poi applichiamo la formula:
[math]x_{1;2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{(-\frac{b}{2})^2-ac}}{a}[/math]
Da cui ricavi i valori di x in funzione di a. Come chiedeva il problema.
valenta93
valenta93 - Sapiens Sapiens - 1213 Punti
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certo!! cavolo ti sto rubando un sacco di tempo...
grazie davvero =D

ok tranquillo..=) ^^
issima90
issima90 - Genius - 18666 Punti
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ho riaperto!
the.track
the.track - Genius - 12440 Punti
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Dammi un altro po' di tempo che arrivo con le soluzioni se non riesci; mi sono accorto che sono un po' difficili da trovare. Fammi sapere se hai bisogno.

Riprendo domattina. Per oggi basta. Lasciate il thread aperto. Grazie.

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