BlackAngel
BlackAngel - Genius - 2009 Punti
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Scrivere l'equazione dell'ellisse riferita agli assi sapendo che essa passa per i punti P e Q della retta 2x+5y-18=0 di ordinata rispettivamente 3 e 2. Determinare poi l'equazione della tangente all'ellisse nel punto P.
[math]4x^2+11y^2=108; 2x+11y=36[/math]
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Allora
I punti di ordinata 3 e 2 appartenenti alla retta sono:

[math] 2x+5(3)-18=0 \to 2x+15-18=0 \to 2x=3 \to x=3/2 [/math]

e

[math] 2x+5(2)-18=0 \to 2x+10-18=0 \to 2x=8 \to x=4 [/math]

Pertanto

[math] P(3/2,3) \ Q(4,2) [/math]

L'ellisse ha equazione generica

[math] \frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}=1 [/math]

Dal momento che abbiamo due parametri da trovare (a e b) sono sufficienti due condizioni (che abbiamo).

quindi poniamo che l'ellisse passi dal punto

[math] \{ \frac{(3/2)^2}{a^2} + \frac{3^2}{b^2}=1 \\ \frac{4^2}{a^2}+ \frac{2^2}{b^2}=1 [/math]

e risolvi il sistema trovandoti a^2 e b^s

Per risolvere la seconda parte, tu hai una retta che passa per P (3/2,3)

Quindi hai un fascio di rette di centro P

Il fascio e':

[math]y-y_0=m(x-x_0) \to y-3=m(x-3/2) \to y=mx-3/2m+3 [/math]

Metti a sistema con l'ellisse e trovi io punti di intersezione (al posto di x mantieni x e al posto di y (nell'ellissi) metti mx-3/2m+3)

Troverai due valori di x (che corrispondono alle ascisse dei punti di intersezione) in funzione di m.
Se il Delta e' uguale a zero, vuol dire che i punti sono 2 coincidenti.

Vedrai che nel delta della soluzione compare il parametro m.

Trovi il/i valore/i di m che annulla/no il Delta.
BlackAngel
BlackAngel - Genius - 2009 Punti
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La prima parte mi è venuta; la seconda parte no... Potresti aiutarmi nello svolgere il sistema per piacere?
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Riguardandolo bene, impostalo cosi' (non ho considerato che il punto P appartiene all'ellisse...)

Calcola la distanza del punto P dal centro dell'ellisse.
A questo punto poni che la distanza tra la retta generica e il centro sia uguale alla distanza punto retta..

Dal momento che l'ellisse e' canonica, il centro e' C(0,0)

pertanto
la distanza del punto dal centro sara', per il teorema di Pitagora

[math] \sqrt{9/4+9}=3/2 \sqrt5 [/math]

e quindi, riscritta la retta in forma implicita

[math]mx-y-3/2+3=0 [/math]

poni che la distanza dall'origine sia
[math] 3/2 \sqrt5 [/math]

[math]3/2 \sqrt5= \frac{|0m-0-3/2m+3|}{ \sqrt{m^2+1}} [/math]
BlackAngel
BlackAngel - Genius - 2009 Punti
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GRAZIE!! T SN MLT GRATA X IL TUO PREZIOSO AIUTO... :)
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Prego.
Chiudo..
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