BlackAngel
BlackAngel - Genius - 2009 Punti
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Ciao ragà devo risolvere questo problema:

Tra tutti i triangoli isosceli di dato perimetro 2P, circoscritti ad una circonferenza di raggio R, determina quello per il quale è minima la somma della base e dell'altezza.

Ed io ho posto la base AB=Y e l'altezza CH= X poi y+x=minima, però non riesco ad andare avanti, potreste aiutarmi per favore??

Aggiunto 21 ore 3 minuti più tardi:

Invece il mio testo sostiene che il triangolo esiste e che la sua base deve essere uguale a
[math]\frac{4}{\sqrt5}R[/math]
. E poi K dove si trova??
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Tracci la base AB, C e' il vertice, H il piede dell'altezza relativa ad AB, O il centro della circonferenza inscritta. Tracci OA e OB. E' facile vedere che, posto
[math]AB=2x[/math]
per la base, devi avere
[math]BC=AC=p-x,\qquad BH=BK=x,\qquad CK=p-2x[/math]

e quindi l'altezza è

[math]CH=OH+OC=r+\sqrt{r^2+(p-2x)^2}[/math]

A questo punto la funzione che vuoi minimizzare è

[math]S(x)=2x+r+\sqrt{r^2+(p-2x)^2}[/math]

da cui

[math]S'(x)=2\,{\frac {\sqrt {{r}^{2}+(p-2x)^2}-p+2\,x}{\sqrt {{r}
^{2}+(p-2x)^2}}}[/math]

Risolvendo
[math]S'(x)\geq 0[/math]
trovi che essa è sempre verificata, ma allora la funzione
[math]S(x)[/math]
è crescente e ciò vuol dire che il suo minimo si ha per
[math]x=0[/math]
. Questo però è assurdo! E quindi non esiste un triangolo per cui è verificata tale richiesta.
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