mirk95
mirk95 - Sapiens - 539 Punti
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ciao a tutti ho bisogno per questo problema di analitica... vi prego aiutatemi ....
Determina i parametri a, b e d nell'equazione y= ax+b / 4x+d, affinché essa rappresenti un'iperbole equilatera avente un asintoto di equazione 2x+1=0 e passante per i punti A(1;1) e B(-1;-2).
Determina le coordinate del centro di simmetria dell'iperbole, l'equazione del secondo asintoto e degli assi di simmetria dell'iperbole.

Grazie in anticipo....
Ali Q
Ali Q - Mito - 23936 Punti
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Ciao, Mirko! Intanto ti ho risolto la prima parte. Un attimo e arriva anche la seconda!

Soluzione:

L'iperbole equilatera "traslata" (cioè che non ha centro nell'origine degli assi) ha solitamente equazione:

[math]y = (ax + b)/(cx + d)[/math]
Nel caso in questione
[math] c=4.[/math]

L'asintoto verticale di una tale curva ha generica equazione:
[math]x = -d/c[/math]

Nell'esercizio proposto l'asintoto ha equazione
[math]2x + 1 = 0[/math]
, cioè
[math]x = -1/2 = -d/c[/math]

Quindi posso scrivere:
[math]-d/c = -1/2[/math]
[math]d/c = 1/2[/math]
[math]d = 1/2 * c[/math]
[math]c = 4[/math]
, quindi:
[math]d = 1/2* 4 = 2[/math]

L'equazione dell'iperbole diventa:
y = (ax + b)/(4x +2)

Sostituiamo adesso a questa equazione le coordinate dei punti A(1,1) e B(-1,-2).

1) Sostituendo A:
[math]1= (a +b)/(4+2)[/math]
[math]a + b = 6[/math]
[math]a = 6 -b[/math]

2) Sostituendo B:
[math]-2= (-a +b)/(-4+2)[/math]
[math]-2 = (-a+b)/-2[/math]
[math]- a + b = 4[/math]
Sostituisco ad a il valore ricavato dalla prima equazione.
[math]-6 +b + b = 4[/math]
[math]2b = 10[/math]
[math]b = 5[/math]

[math]a = 6 -b = 6-5 = 1[/math]

Aggiunto 19 minuti più tardi:

SECONDA PARTE:

Il secondo asintoto (quello verticale) ha equazione:
[math]y = a/c[/math]

Nel nostro caso
[math]y = 1/4[/math]

Note le equazioni degli asintoti, è semplice determinare le coordinate del centro:
[math]O (-d/c; a/c)[/math]
[math]O (-1/2; 1/4)[/math]

Per trovare le rette che rappresentano gli assi di simmetria occorrerebbe cercare una retta passante per i due fuochi dell'iperbole ed una retta ad essa perpendicolare che la taglia nel centro di simmetria.
Tuttavia questo procedimento non è semplice, perchè trovare i fuochi nell'iperbole traslata non è cosa semplicissima.
Si conosce però -fortunatamente- l'equazione standard dei due assi di simmetria, e quindi mi baso su quella:

1)
[math]y = x+d/c+a/c[/math]

2)
[math]y = -x-d/c+a/c[/math]

Ecco fatto, finito. Ti lascio anche il link di un ottimo formulario che può esserti utile per i tuoi esercizi futuri. Qui c'è tutto quello che ti può servire riguardo l'iperbole:
http://www.biondinagaldi.it/File%20pdf%20Comefareper/Iperbole%20e%20Funzione%20omografica.pdf

Ciao! Spero di non aver fatto errori di calcolo!
bimbozza
bimbozza - Genius - 19548 Punti
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[math]y= \frac{ax+b}{4x+d}[/math]
Sappiamo che ha un asintoto di equazione
[math]x=-1/2[/math]
quindi sappiamo che
[math]\frac{d}{4}= \frac{1}{2}[/math]
quindi
[math]d=2[/math]
imponiamo il passaggio da A e B sostituendo le coordinate (una alla volta).
per A abbiamo
[math]1= \frac{a+b}{4+2}[/math]
[math]6=a+b[/math]
quindi
[math]b=6-a[/math]
per B abbiamo
[math]-2= \frac{-a+b}{-4+2}[/math]
sostituiamo il valore di b trovato
[math]-2= \frac{-a+6-a}{-2}[/math]
[math]-2= \frac{6-2a}{-2}[/math]
[math]-2= -3+a[/math]
quindi a=1
quindi sostituendo tutto nella nostra equazione abbiamo
[math]y= \frac{x+5}{4x+2}[/math]

che ha centro C(-1/2,1/4) asintoto y=a/c=1/4

Per determinare gli assi di simmetria bisogna prima trovare le coordinate della traslazione dell'iperbole rispetto all'origine degli assi

[math]\left{
x=X-1/2\\
y=Y+1/4\\
[/math]

in questo sistema di riferimento l'iperbole,essendo equilatera, ha assi di simmetria Y=X e Y=-X quindi, traslandoci di nuovo "nella vecchia posizione" si ha
[math]\left{
X=x+1/2\\
Y=y-1/4\\
[/math]
e quindi
[math]y-1/4=x+1/2[/math]
da cui
[math]y=x+3/4[/math]
e
[math]y-1/4=-x-1/2[/math]
da cui
[math]y=-x-1/4[/math]
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