saretta
saretta - Sapiens - 537 Punti
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ciao!!!
ho questo problema che non mi viene.
è della maturità del 1985
ho il dubbio su come costruire la figura, sulla lunghezza della corda. come faccio ad imporre area marrisma?

In una circonferenza di centro O e raggio unitario si conduca la corda AB tale
che, costruito il triangolo equilatero ABC da parte opposta di O rispetto ad
AB, l’area del quadrilatero ACBO risulti massima.
determinare oi per quali valori di AOB tale area è a rad3 + 2 fratto 2.
Si esprimano i valori che assumono la lunghezza della corda AB e l’ampiezza dell’angolo \AOB.
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Hai ragione, ho fatto il disegno a rovescio..

Arrivo, ti posto la soluzione corretta.

Aggiunto 14 minuti più tardi:

Il procedimento e' analogo..

Parti da

[math] \sqrt3 \sin^2 x + \sin x \cos x - \sqrt3 = 2 [/math]

con analoghe considerazioni alle precedenti arrivi ad avere

[math] - \sqrt3 \cos (2x) + \sin (2x) = 2 [/math]

Dividi tutto per due

[math] - \frac{ \sqrt3}{2} \cos (2x)+ \frac12 \sin (2x) = 1 [/math]

Da cui, guardando sulla circonferenza goniometrica, ricavi l'angolo che ha come seno
[math]- \frac{ \sqrt3}{2} [/math]
e come coseno
[math] \frac12 [/math]

Quindi

[math] \sin (- \frac{ \pi}{3}) \cos (2x) + \cos (- \frac{ \pi}{3}) \sin (2x) = 1 [/math]

Per le formule di addizione

[math] \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta= \sin(\alpha + \beta) [/math]

e sapendo che
[math]1= \sin \frac{\pi}{2} [/math]
avrai
[math] \sin ( - \frac{\pi}{3} + 2x) = \sin \frac{\pi}{2} [/math]

Quindi

[math] 2x=\frac{\pi}{2}+ \frac{\pi}{3}= \frac56 \pi [/math]

Dimmi se e' chiaro.

Aggiunto 1 minuti più tardi:

2x e' langolo AOB.

Quindi l'angolo x sara'
[math] \frac{5}{12} \pi [/math]
ovvero la sua meta'.
Aggiunto 4 minuti più tardi:

Quindi AB che era
[math] 2 \sin x [/math]
sara'
[math] 2 \sin \frac{5}{12} [/math]

Per trovare il seno di 5/12 pigreco dovrai utilizzare le formule di addizione (siamo a 75 gradi, che e' 45+30)

[math] \sin \frac{5}{12} \pi = \sin (\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}) = [/math]

[math] \sin \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{6} + \cos \frac{\pi}{4} \sin \frac{\pi}{6} [/math]

E quindi

[math] \frac{ \sqrt2}{2} \frac{ \sqrt3}{2} + \frac{ \sqrt2}{2} \cdot \frac12 = \frac{ \sqrt6}{4}+ \frac{\sqrt2}{4} [/math]

Che moltiplicato per 2 dara'

[math] \bar{AB}= \frac{ \sqrt6 + \sqrt2}{2} [/math]

Dovremmo aver finito
Dreke90
Dreke90 - Genius - 6795 Punti
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Per la figura o meglio per la prima parte puoi trovare soluzione in questo documento pdf esercizio 06.
http://www.evaristogalois.it/02_MATEMAT5ICA/MATEMATICA_TRIENNIO/UNIT%C3%A0_DIDATTICA_28_ESTREMI_ASINTOTI_FLESSI_ESERCIZI_PROBLEMI_STUDIO_FUNZIONI.pdf
saretta
saretta - Sapiens - 537 Punti
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ok, il disegno lo avevo fatto bene....
però il problema nella soluzione chiamava l'angolo al centro 2x...

non posso usare la relazione lato triangolo equilatero = rRAD3?
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Anch'io porrei l'angolo al centro 2x, dal momento che poi, grazie alla conoscenza del raggio=1 ovvero il lato del triangolo isoscele AOB, puoi calcolare meta' di AB come
[math] \sin x [/math]
e dunque
[math] AB=2 \sin x [/math]

Inoltre conosci l'altezza di AB
[math] \cos x [/math]

Attenta, perche' il triangolo equilatero ABC non e' inscritto nella circonferenza!

Il vertice C non tocca la circonferenza.

Quindi il triangolo equilatero (di lato AB) avra' l'altezza
[math] AB \sqrt3 [/math]
e quindi l'altezza
[math] 2 \sin x \sqrt3 [/math]

La sua area dunque sara'
[math] \frac{ 2 \sin x \cdot 2 \sin x \sqrt3}{2} = 2 \sqrt3 \sin^2 x [/math]

Per differenza dovresti ricavare l'area del quadrilatero, e quindi, derivare l'area in x e trovare il valore che annulla la derivata.

Sostituendo tale valore alla funzione originaria, troverai il valore dell'area massima.

Ora devo proprio andare, domani sera (se nessuno e' intervenuto) ti aiuto eventualmente a concludere l'esercizio, se dovessi avere altre difficolta'.
saretta
saretta - Sapiens - 537 Punti
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derivate no!
è un problema per un liceo scientifico 4 anno.
cmq risolto... avevo fatto procedimento giusto, ma avevo scritto un angolo 2 volte... e quindi avevo un eccesso di seni e coseni!
grazie
ciao

Aggiunto 9 ore 45 minuti più tardi:

ciao!
allora, la prima parte l'ho risolta....
l'area di tutto il quadrilatero è
[math]sqrt 3 sen^2x + senx cosx[/math]
(è quello che viene al libro)

poi c'è la seconda parte che diceva:
"Determinare poi per quali valori di AOB tale area è
=
[math]\frac{sqrt 3 + 2}{2} [/math]
.
Si esprimano i valori che assumono la lunghezza della corda AB e l’ampiezza dell’angolo \AOB."

io ho posto la prima area che ho trovato uguale alla seconda, cioè

[math]sqrt 3 sen^2x + senx cosx[/math]
=
[math]\frac{sqrt 3 + 2}{2} [/math]

ho svolto i calcoli e mi viene

[math]2\sqrt3 sen^2x + 2senxcosx - sqrt3 - 2 [/math]

ma da qui non so andare avanti
Dreke90
Dreke90 - Genius - 6795 Punti
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dopo trovato l'area del quadrilatero devi fare la derivata rispetto a x e vedere dove si annulal la derivata sarà:

3^(1/2)*2sen^2x*cosx-cosx*senx

Aggiunto 14 secondi più tardi:

da qui devi vedere dove si annulla!
saretta
saretta - Sapiens - 537 Punti
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no, le derivate non le conosce....
è un problema per ragazzi del 4 liceo. quindi hanno fatto solo trigonometria semplice con problemi (nemmeno analisi funzioni trigonometriche, ma solo equazioni e disequazioni e problemi come questo) ed ora stanno iniziando logaritmi ed espodenziali, ma ancora a livello di trasformare l'uno nell'altro e nemmeno equazioni o disequazioni.

quindi trovo difficoltà a risolverlo al loro livello

Aggiunto 46 minuti più tardi:

è giusto il prcedimento che ho fatto per la seconda parte del problema?
e i calcoli?
perchè non so come andare avanti, ma lo si deve consegnare domani assolutamente

Aggiunto 3 ore 12 minuti più tardi:

please, per favore un aiuto, un consiglio....
mi domando se il cosx può essere trasformato in senx

ho provato ad applicare la relazione fondamentale della trigonometria

[math] sen^2x + cos^2x = 1 [/math]

ma mi vado a complicare ulteriormente la vita...
mi viene un'equazione di 4 grado, le cui soluzioni non si avvicinano minimamente a quelle che dava il libro.
Dreke90
Dreke90 - Genius - 6795 Punti
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Prova a scrivere la soluzione del libro non sono molto bravo in queste cose ma posso arrivarci! ci sto provando!
saretta
saretta - Sapiens - 537 Punti
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allora... il libro mi da come risultati

angolo AOB =
[math]\frac{5}{6}\pi [/math]

AB =
[math]\frac {1}{2} (\sqrt{6}+\sqrt{2})[/math]
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Partiamo dal presupposto che, a prescindere dalla soluzione del libro, la tua soluzione e' comunque sbagliata.

Il quadrilatero infatti e' la DIFFERENZA tra il triangolo equilatero e quello isoscele

Quindi

[math] \sqrt3 \sin^2 x - \sin x \cos x = \frac{ \sqrt3 + 2}{2} [/math]

Da cui moltiplicando

[math] 2 \sqrt 3 \sin^2 x - 2 \sin x \cos x = \sqrt3 + 2 [/math]

E quindi

[math] 2 \sqrt3 \sin^2 - \sqrt3 - 2 \sin x \cos x -2 = 0 [/math]

Ora d qui possiamo procedere in piu' modi.

A me e' venuto in mente questo.

Siccome in verita' noi stiamo cercando l'angolo AOB che e' 2x, ho provato a vedere se esisteva una relazione tra l'equazione e le formule di duplicazione..

Infatti ad esempio ho notato che

[math] 2 \sin x \cos x = \sin (2x) [/math]

Poi proviamo a raccogliere
[math] \sqrt3 [/math]
parziale per i primi 2 monomi..
[math] \sqrt3 (2 \sin^2 -1) - \sin 2x - 2 = 0[/math]

Qui ho notato che

[math] 1- \sin^2 x = \cos (2x) [/math]

Quindi

[math] - \sqrt3 \cos (2x) - \sin 2x -2 = 0[/math]

Dividi tutto per 2

[math] - \frac{ \sqrt3}{2} \cos 2x - \frac12 \sin 2x - 1 = 0 [/math]

Notiamo che i due coefficienti sono rispettivamente seno e coseno di
[math] \frac43 \pi [/math]

Quindi

[math] \sin \frac43 \pi \cos 2x - \cos \frac43 \pi \sin 2x = 1 [/math]

Dunque per le formule di sottrazione

[math] \sin ( \frac43 \pi - 2x) = \sin \frac{ \pi}{2} [/math]

[math] \frac43 \pi - 2x = \frac{\pi}{2} [/math]

E quindi

[math] 2x= \frac56 \pi [/math]
saretta
saretta - Sapiens - 537 Punti
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perchè la differenza?
alla fine i 2 triangoli hanno in comune un lato (la corda AB), sono limitrofi (passamelo, non mi viene altro termine), non uno dentro l'altro... la figura era giusta quella del link, quella del prob num.6.

Aggiunto 9 minuti più tardi:

mi sono persa al terzultimo passaggio....
si possono applicare anche con 2x?

il coseno di
[math]\frac{4}{3}\pi[/math]
è relativo a
[math]\frac{1}{2}[/math]
o a
[math]-\frac{1}{2}[/math]
?
Aggiunto 3 minuti più tardi:

poi per trovare AB, sostituisco l'x trovata al valore di prima?
saretta
saretta - Sapiens - 537 Punti
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ok, perfetto, grazie...
ma continuo a dire... poveri ragazzi!!!
se capitano 3 problemi così in 2 ore, uno come fa a fare tutti gli esercizi... ci vuole pure temo e sazio per scriverli!!!

grazie molte...
ciauz
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Se e' a posto, chiudi il 3d dando il voto alla risposta da te ritenuta migliore :D
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