scratch17
scratch17 - Erectus - 59 Punti
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Considerare la funzione di equazione
[math]f(x)=\frac{kx-5}{x^2-1}[/math]
con k diverso da 5.
  • -Per quali valori di k la funzione f(x) ha sia un massimo relativo sia un minimo relativo?
    -Determinare k in modo che f(x) abbia un minimo relativo per
    [math]x=-\frac{1}{2}[/math]
    e tracciare quindi il grafico della funzione così determinata
    -Determinare k in modo che f(x) abbia un estremo relativo per
    [math]x=2[/math]
    e tracciare quindi il grafico della funzione così determinata
    -Calcolare la misura dell'area della regione limitata di piano compresa tra i grafici delle funzioni così determinate ai punti b) e c) e le rette di equazione
    [math]x=2[/math]
    e
    [math]x=3[/math]
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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a) affinche' la funzione abbia massimo e minimo relativo, la sua derivata prima dovra' avere due valore di x che ne annulli il valore.

La derivata della funzione e':

[math] f'(x)= \frac{k(x^2-1)-2x(kx-5)}{(x^2-1)^2}= \frac{kx^2-k-2kx^2+10x}{(x^2-1)^2} [/math]

Il denominatore e' sempre positivo;

Il numeratore sara' maggiore di zero per:

[math] -kx^2+10x-k>0 \to kx^2-10x+k<0 [/math]

Soluzioni dell'equazione associata saranno (uso la formula ridotta)

[math] x_{1,2}= \frac{5 \pm \sqr{25-k^2}}{k} [/math]

E pertanto

[math] \frac{5-\sqrt{25-k^2}}{k} < k < \frac{5+ \sqrt{25-k^2}}{k} [/math]

Pertanto la funzione cresce nell'intervallo sopraindicato (se k>0) e avra' un minimo in

[math] \frac{5- \sqrt{25-k^2}}{k} [/math]

e un massimo in

[math] \frac{5+ \sqrt{25-k^2}}{k} [/math]

Se k<0 invece avra' tutti i valori invertiti, ovvero nell'intervallo decrescera' e avra' massimo/minimo al contrario. Infatti, quando il delta esiste, k modifichera' il segno al denomnatore

I due valori esisteranno e saranno diversi quando il delta e' maggiore di zero, ovvero quando

[math] 25-k^2>0 \to -5<k<5 [/math]

(k=5 e' escluso dal problema, k=-5 genera due soluzioni conincidenti, la funzione sempre decrescente e con x=-1 escluso dal dominio)

b)Per quanto detto sopra, il punto di minimo e'

[math] \frac{5- \sqrt{25-k^2}}{k} [/math]

e pertanto, siccome dovra' essere per x=-1/2 avremo

[math] - \frac12= \frac{5- \sqrt{25-k^2}}{k} \to -k=10-2 \sqrt{25-k^2} \to \\ \to k+10=2 \sqrt{25-k^2} \to (k+10)^2= \( 2 \sqrt{25-k^2} \)^2 \to \\ \to k^2+20k+100=100-4k^2 \to 5k^2+20k=0 \to k=-4 [/math]

(perche' k=0 non e' accettabile in quanto durante lo svolgimento dell'equazione, k compariva al denominatore e prima della semplificazione del denominatore comune, avremo posto
[math] k \ne 0 [/math]
)
Quindi la funzione da disegnare sara'

[math] f(x)= \frac{-4x-5}{x^2-1} [/math]

Il punto c) e' analogo. Dovrai porre pero' (siccome vuoi un estremo relativo in x=2) due esercizi, ponendo il massimo = 2 e poi il minimo.

Troverai k=4 in un caso e k=10 nell'altro (k=10 ricordiamo che non e' ammesso).

Quindi la seconda funzione richiesta dall'esercizio sara'

[math] f(x)= \frac{4x-5}{x^2-1} [/math]

Per l'ultimo punto dovrai trovare i punti di intersezione tra le funzioni.

Ora, non so se avete fatto gli integrali, ma immagino di si'.

La soluzione sara' data dall'integrale definito tra 2 e 3 della differenza delle due funzioni..

[math] \int_2^3 \frac{-4x-5}{x^2-1}- \frac{4x-5}{x^2-1} dx [/math]

e dunque

[math] \int_2^3 \frac{-8x}{x^2-1} dx [/math]

L'integrale indefinito sara'

[math] -4 \int \frac{2x}{x^2-1} dx = -4 \log(x^2-1) + C [/math]

E dunque

[math] A= -4 \log(x^2-1) |_2^3 [/math]

Ricontrolla i calcoli, ma dovrebbe essere cosi'
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