jchan90
jchan90 - Erectus - 50 Punti
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Studiare la funzione
[math] y = (2+x)|x|* e^{-|x|} [/math]
Siano P, un punto appartenente al grafico della funzione relativo a
[math] x\ge \ 0[/math]
, e H e K le sue proiezioni sugli assi x e y. Determinare il punto P affinchè l'area del rettangolo OHPK sia massima. Calcolare infine l'area delimitata dalla curva e dalle rette
[math]x=2[/math]
;
[math]x=4[/math]
e l'asse delle ascisse (se possibile)
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Allora, affrontiamo lo studio di funzione (in maniera rapida).

1) Dominio: poiché la funzione è prodotto di tre funzioni definite dappertutto, il dominio di f coincide con tutto l'asse reale
[math]\mathbb{R}[/math]
.
2) Simmetrie: poiché

[math]f(-x)=(2-x)|-x|\cdot e^{-|-x|}\neq\pm f(x)[/math]

non vi sono simmetrie.

3) Intersezioni con gli assi: per x=0 si ha y=0, mentre se y=0, risolvendo l'equazione
[math](x+2)|x|\cdot e^{-|x|}=0[/math]
si trova x=-2, x=0. Leintersezioni sono quindi i punti
[math]O(0,0),\qquad A(-2,0)[/math]

E' facile poi vedere che la funzione è positiva per x>-2 e negativa per x<-2 (in quanto solo x+2 può cambiare segno).

4) Comportamento asintotico: Abbiamo, poiché per
[math]x\rightarrow\pm\infty[/math]
si ha
[math]|x|=\pm x[/math]

[math]\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{-x(2+x)}{e^{-x}}=
\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{-x^2}{e^{-x}}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{-2}{e^{-x}}=0[/math]

[math]\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x(2+x)}{e^{x}}=
\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^2}{e^{x}}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2}{e^{x}}=0[/math]

per cui la retta x=0 è un asintoto orizzontale.

5) Monotonia: la derivata prima è

[math]f'(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
-{{\rm e}^{-x}} \left( -2+{x}^{2} \right) & & x\geq 0\\
-{{\rm e}^{x}} \left( 4\,x+2+{x}^{2} \right) & & x< 0
\end{array}\right.[/math]

Se risolviamo la disequazione
[math]f'(x)\geq 0[/math]
otteniamo le soluzioni
[math][-2-\sqrt{2},-2+\sqrt{2}]\cup[0,\sqrt{2}][/math]

per cui i punti di massimo e minimo sono

Max
[math](-2+\sqrt{2},(2-\sqrt{2})\sqrt{2} e^{-2+\sqrt{2}}),\quad (\sqrt{2},(2+\sqrt{2})\sqrt{2} e^{-\sqrt{2}})[/math]

min
[math](-2-\sqrt{2},-\sqrt{2}(2+\sqrt{2})e^{-2-\sqrt{2}}),\quad (0,0)[/math]
.
6) Flessi e concavità: La derivata seconda è

[math]f''(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
{{\rm e}^{-x}} \left( -2-2\,x+{x}^{2} \right) & & x\geq 0\\
-{{\rm e}^{x}} \left( 6+6\,x+{x}^{2} \right) & & x<0
\end{array}\right.[/math]

Risolvendo la disequazione
[math]f''(x)\geq 0[/math]
si ottiene la soluzione
[math][-3-\sqrt{3},-3+\sqrt{3}]\cup[1+\sqrt{3},+\infty)[/math]

da cui i punti di flesso

[math](-3-\sqrt{3},(-1-\sqrt{3})(3+\sqrt{3})e^{-3-\sqrt{3}}),\\
(-3+\sqrt{3},(-1+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})e^{-3+\sqrt{3}}),\\
(1+\sqrt{3},(3+\sqrt{3})(1+\sqrt{3})e^{-1-\sqrt{3}}).[/math]

7) Grafico: lo puoi vedere in figura.


Passiamo ora al resto del problema. Se P è un punto della funzione le sue coordinate saranno
[math]P(x,(2+x)x e^{-x})[/math]
(per x>0) e quindi avremo
[math]H(x,0),\qquad K(0,(2+x)x e^{-x})[/math]

per cui l'area del rettangolo è data dalla funzione

[math]S(x)=(2+x)x^2 e^{-x}[/math]

Poiché la derivata è

[math]S'(x)=-x{{\rm e}^{-x}} \left( -x-4+{x}^{2} \right) [/math]

risolvendo l'equazione
[math]S'(x)=0[/math]
si trovano le radici
[math]x=0,\quad \frac{1\pm\sqrt{17}}{2}[/math]

e l'unica accettabile è
[math](1+\sqrt{17})/2[/math]
(x>0) che rappresenta il valore massimo.
L'area cercata invece è data dal calcolo dell'integrale

[math]A=\int_2^4 x(2+x) e^{-x}\ dx=\int_2^4 (x^2+2x)e^{-x}\ dx[/math]

da cui usando la formula di integrazione per parti

[math]=\left.-(x^2+2x)e^{-x}\right|_2^4+\int_2^4 (2x+2) e^{-x}\ dx=[/math]
[math]=-24e^{-4}+8e^{-2}\left.-(2x+2)e^{-x}\right|_2^4+\int_2^4 e^{-x}\ dx=[/math]
[math]=-24e^{-4}+8e^{-2}-10e^{-4}+6e^{-2}-e^{-4}+e^{-2}=-35e^{-4}+15e^{-2}[/math]


Finito!

Questa risposta è stata cambiata da ciampax (27-01-09 22:49, 7 anni 10 mesi 15 giorni )
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