Tolaz92
Tolaz92 - Erectus - 83 Punti
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Scrivi le equazioni dei lati del rettangolo inscritto nell'ellisse di equazione x^2/18+y^2/32=1 avente perimetro = 28

grazie!
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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[math] \frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{32} =1 [/math]

Sappiamo che l'ellisse e' simmetrica sia rispetto all'asse x che all'asse y.

I rettangoli inscritti in un' ellisse hanno i lati paralleli agli assi.

Chiamando i vertici del rettangolo inscritto A,B,C,D, i punti saranno della forma:

[math] A(x_1,y_1) \ \ B(x_2,y_1) \ \ C(x_2,y_2) \ \ D(x_1,y_2) [/math]

ovvero avranno ascissa uguale a due a due e ordinata uguale a due a due.

Non solo: i punti saranno simmetrici rispetto agli assi, quindi le ascisse dei punti del rettangolo saranno opposte (ovvero x e -x)

e allora avremo che le coordinate dei vertici saranno

[math] A(x_1,y_1) \ \ B(-x_1,y_1) \ \ C(-x_1,y_2) \ \ D(x_1,y_2) [/math]

Troviamo l'ordinata generica di un'ascissa arbitraria:

[math] x=x_0 \to \frac{y^2}{32}=1- \frac{x_0^2}{18} \to y^2=32- \frac{9x_0^2}{16} \to \\ \to y^2= \frac{288-16x_0^2}{9} \to y= \pm \frac{\sqrt{288-16x_0^2}}{3} \to \\ \to y= \pm \frac{\sqrt{16(18-x_0^2)}}{3} \to y= \pm \frac43 \sqrt{18-x_0^2} [/math]

Abbiamo dunque trovato le due ordinate relative ad un punto di ascissa prefissata.

Questo significa che per ogni valore assegnato (a caso) alla x, i due punti sull'ellisse saranno della froma di cui sopra.

I valori che rendono la radice negativa saranno tutti i valori di x per cui l'ellisse non esiste.

Troviamo ora le ascisse relative a quelle ordinate: saranno anch'esse due, una sara' quella imposta da noi (ovvero x0) e l'altra sara' l'altra ascissa.

E siccome l'ellisse e' simmetrica rispetto agli assi e i punti di un rettangolo inscritto sono anch'essi simmetrici rispetto agli assi, l'altra ascissa sara' semplicemente -x0.

Quindi i lati del rettangolo saranno:

Le due basi la distanza tra le ascisse (e pertanto 2x_0)

le altezze le distanze tra le due ordinate (e quindi
[math] 2 \cdot \frac43 \sqrt{18-x_0^2} [/math]
)
Il semiperimetro dovra' essere 14 e dunque la somma di base e altezza dovra' essere 14.

[math] 2x_0 + \frac83 \sqrt{18-x_0^2} = 14 \to \frac83 \sqrt{18-x_0^2}=14-2x_0 [/math]

Eleviamo al quadrato e avremo

[math] \frac{64}{9} (18-x_0^2)= 196+4x_0^2-56x_0[/math]

Facendo un po' di calcoli, minimo comune multiplo e semplificazioni otterremo

[math] 25x_0^2-126x_0+153=0 [/math]

Risolviamo con la formula ridotta

[math] \Delta = 63^2-3825=144 [/math]

E quindi

[math] x_0 = \frac{63 \pm \sqrt{144}}{25} = \frac{63 \pm 12}{25} [/math]

Da cui

[math] x_1 = \frac{ 63 + 12}{25} = 3 [/math]

[math] x_2 = \frac{63-12}{25} = \frac{51}{25} [/math]

Questo significa che soddisfano i requisiti il rettangolo avente le altezze di ascissa +3 e -3 e quindi le ordinate:

[math] \frac{9}{18}+ \frac{y^2}{32}=1 \to \frac{y^2}{32}= \frac12 \to y^2=16 \to y= \pm 4 [/math]

E il rettangolo avente le ascisse

[math] x_1= \frac{51}{25} \ \ x_2=- \frac{51}{25} [/math]

e le ordinate

[math] \frac{ \(\frac{51}{25} \)^2}{18}+\frac{y^2}{32}=1 \to \frac{2601}{11250}+ \frac{y^2}{32}=1 \to \\ \to y^2= \frac{8649}{\no{11250}^{5625}} \cdot \no{32}^{16}= \frac{138384}{5625} \to y= \pm \frac{372}{75} [/math]

Se hai dubbi chiedi pure :)

Aggiunto 1 minuti più tardi:

Le equazioni dei lati saranno (ovviamente)

nel primo caso:

[math] x=3 \\ x=-3 \\ y=4 \\ y=-4 [/math]

Nel secondo

[math] x= \frac{51}{25} \\ x=- \frac{52}{25} \\ y= \frac{124}{25} \\ y=- \frac{124}{25} [/math]
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