MARTINA90
MARTINA90 - Genius - 4929 Punti
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se la diagnale di un quadrato è uguale al dametro di un cerchio dividendo l'area del cerchio per l'area del quadrato si ottiene??

una domandina che nn mi ricordo piu anche perchè l'equazioni cn k ne ho fatte gran poke.
per quali valori di k l'equazione x^2-2x+k-1=0 ammette soluzioni reali??

Aspetto una risp grazie.

Questa risposta è stata cambiata da BIT5 (28-08-09 10:17, 7 anni 3 mesi 13 giorni )
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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L'area del quadrato e'
[math]l^2[/math]

Se esprimiamo il lato in funzione delle diagonali, sapendo che:

- le diagonali del quadrato sono congruenti
- le diagonali sono perpendicolari
- le diagonali si incontrano nel loro punto medio
- il lato pertanto altro non e' che l'ipotenusa del triangolo rettangolo isoscele avente i cateti pari a
[math] \frac{d}{2}[/math]

Il lato sara' (Per Pitagora)
[math]d \sqrt{2}[/math]

E pertanto l'Area
[math] A_Q= \frac{d^2}{2}[/math]

L'Area del Cerchio e'
[math] \pi r^2 [/math]
e, nel nostro caso,
[math] \pi ( \frac{d}{2})^2= \pi \frac{d^2}{4} [/math]

Il rapporto pertanto

[math] \frac{A_C}{A_Q}= \frac{ \pi \frac{d^2}{4}}{ \frac{d^2}{2}}= \frac{ \pi}{2} [/math]

Nel secondo esercizio, ricordando che le equazioni di secondo grado sono nella forma

[math]ax^2+bx+c=0 [/math]

Avremo
[math]a=1 \ b=-2 \ c=k-1 [/math]

le soluzioni dell'equazione saranno

[math] x_{1,2}= \frac{2 \pm \sqrt{4-4(1)(k-1)}}{2} [/math]

Oppure, visto che "b" e' pari, usando la formula ridotta

[math] x_{1,2}= \frac{1 \pm \sqrt{1-(1)(k-1)}}{1} [/math]

L'equazione avra' due soluzione Reali e distinte quando il Delta sara' maggiore di zero.
Due soluzioni Reali e coincidenti quadno il Delta sara' uguale a zero
Nessuna soluzione Reale se il Delta sara' minore di zero.

E quindi, per la formula intera

[math] 4-4k+4 > 0 \to -4k+8 > 0 \to -4k > -8 \to 4k < 8 \to k < 2 [/math]

Mentre per la ridotta (che ovviamente dara' il medesimo risultato)

[math] 1-k+1 >0 \to k<2 [/math]

Pertanto

Per k<2 : 2 soluzioni reali e distinte
Per k=2 : 2 soluzioni reali e coincidenti (per sapere il valore basta che sostituisci a k il valore 2 in una delle due formule)
Per k>2 : nessuna soluzione reale
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