saretta
saretta - Sapiens - 519 Punti
Salva
ciao!!
scusate se posto di nuovo il mio problema, ma ho nuovamente problemi nell'altro post... mi da vari errori, che nn so risolvere...
ma ho dei dubbi sulla spiegazione datami!

"data una semicirconferenza di diametro AB=2r, determinare sulla circonferenza un punto E, tale che, costruita la corda AE e tracciata la tangente alla circonferenza nel punto E, la parallela alla corda E, che parte dal punto C, punto medio di OA, si abbia CD=
[math]r\sqrt{2}[/math]
con D punto di incontro con la tangente"
dava come suggerimento angolo OAE= x

ho seguito la spiegazione di BIT5, però ho dei dubbi

CO non è uguale a r/2, dato che C è il punto medio di AO?

a me AE viene
[math]AE=2r sen\gamma= 2r (\pi-2x)=2r(sen\pi *cos2x - cos\pi*sen2x)= 2r (0*cos2x +1*2senxcosx)=2r(2senxcosx)=4 r senx cosx[/math]

ho chiamato
[math]\gamma[/math]
l'angolo AOE

un'altra cosa....
mi sfuggono questi passaggi

"o considerando che la base AE del trapezio ACKE e'
[math]2rcosx[/math]
e che le proiezioni dei lati sulla base maggiore misurano entrambe
[math]\frac{r}{2}cosx[/math]
e quindi la base minore CK sara'
[math]2rcosx-2\frac{r}{2}cosx=rcosx[/math]

o considerando il triangolo CKO, isoscele (perche' AE e CD sono parallele tagliate dalle trasversali AO e EO che quindi segnano (per Talete) angoli corrispondenti congruenti, e quindi il triangolo COK e' isoscele di lato r/4 e quindi la base di questo triangolo isoscele sara'
[math]2\frac{r}{2}cosx[/math]
"
altra domanda....
ma per trovare KD hai usato teorema dei triangoli rettangoli?
e si può usare anche se il vertice D non si trova sulla circonferenza?

e per CK hai usato il teorema della corda?!

devo spiegare i teoremi e i passaggi che faccio, passaggio per passaggio


però i passaggi prima mi risultano un pò ostici.... + che altro non capisco perchè a te CO e OK vengono la metà che a me... a me vengono uguali a r/2

come fai a trovare CK, cioè quale formula usi, ed anche AE a me viene abbastanza diverso....

Aggiunto 1 minuti più tardi:

inserisco anche la risposta di BIT5, per completezza

# BIT5 : Ho guardato l'altro esercizio che hai postato, perche' qui manca CD=?
La soluzione che ti e' stata data, parla di un triangolo rettangolo ma non trovo da nessuna parte una dimostrazione che tale triangolo debba essere rettangolo.

Mi spiego meglio. Vero che CC' e' il raggio e che CD dev'essere
[math] r \sqrt2 [/math]
ma bisognerebbe dimostrare che CC'D e' rettangolo!
Comunque, detto questo:

Hai un triangolo isoscele con lati congruenti AO=EO=r.

Inoltre hai la retta CD che, essendo parallela alla base AE genera un trapezio isoscele ACKE, che pertanto avra' (detto K il punto di intersezione tra CD e OE) KE=AC=r/2

Poi: la lunghezza di CK la puoi calcolare in diversi modi:

o considerando che la base AE del trapezio ACKE e'
[math] 2r \cos x [/math]
e che le proiezioni dei lati sulla base maggiore misurano entrambe
[math] \frac{r}{2} \cos x [/math]
e quindi la base minore CK sara'
[math] 2r \cos x - 2 \frac{r}{2} \cos x = r \cos x [/math]

o considerando il triangolo CKO, isoscele (perche' AE e CD sono parallele tagliate dalle trasversali AO e EO che quindi segnano (per Talete) angoli corrispondenti congruenti, e quindi il triangolo COK e' isoscele di lato r/4 e quindi la base di questo triangolo isoscele sara'
[math] 2 \frac{r}{2} \cos x = r \cos x [/math]

Infine considera il triangolo KED: rettangolo in E (il raggio e' perpendicolare alla tangente nel punto di tangenza).

L'angolo in K sara' x (o perche' opposto al vertice dell'angolo CKO o perche' alterno interno dell'angolo AEK o per differenza dell'angolo piatto CKO dall'angolo del trapezio CKE che misura 180-x (se ti fai il conto degli angoli del trapezio, gli angoli alla base sono ciascuno x, quindi la somma degli angoli superiori sara' 360-2x e quindi ogni angolo (360-2x):2=180-x)

Quindi KD sara'
[math] \frac{r}{2 \cos x} [/math]

Ma allora CD=CK+KD=
[math]r \cos x + \frac{r}{2 \cos x} = r \sqrt2 [/math]

Da cui risolvendo l'equazione avrai

[math] \frac{r(2 \cos^2 x -2 \sqrt2 \cos x +1)}{2 \cos x}=0 [/math]

E dunque per
[math] \cos x \ne 0 \to x \ne \frac{\pi}{2} \ U \ x \ne \frac32 \pi [/math]
(il secondo non sta nei limiti dell'angolo, che avrai precedentemente posto, immagino compreso tra 0 e pigreco/2)
avrai

[math] \( \sqrt2 \cos x - 1 \)^2 = 0 \to \cos x = \pm \frac{\sqrt2}{2} [/math]

Ovvero
[math] x = \frac{\pi}{4} [/math]
e
[math] x= \frac34 \pi [/math]
la seconda non e' accettabile

Aggiunto 1 giorni più tardi:

grazie mille veramente!
chiudo
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
Salva
Dal momento che il triangolo AOE e' isoscele (i lati AO e OE sono raggi), la base AE sara' 2r cos x.

Infatti tracciandone l'altezza relativa alla base AE avrai che meta' base e' r cos x e pertanto la base il suo doppio.

Poi.

La figura AECK e' un trapezio isoscele.
Infatti si ottiene da un triangolo isoscele (AOE) tagliato da una retta (CD) parallela alla base.

Pertanto puoi trovare la base minore CK o togliendo dalla base maggiore le proiezioni dei lati (che sono date da ipotenusa (cioe' AC = r/2) per il coseno dell'angolo compreso (x)) o semplicemente considerando che il triangolo CKO e' isoscele (e' la "punta" del triangolo isoscele tagliato da una parallela alla base) e quindi, siccome l'angolo OCK e' uguale all'angolo EAO (AE e CD sono le parallele e AO e' la trasversale (Talete))per quanto detto prima ti calcoli meta' di CK (ovvero CO cos x = r/2 cos x ) e poi la moltiplichi per 2 (perche' hai trovato meta' della base del triangolo isoscele COK).

Per trovare CK, dunque, ho usato questi due metodi. Non e' possibile usare il teorema della corda, dal momento che CK non e' una corda! (ne' C ne' K stanno sulla circonferenza)

CO e OK misurano r/2.
La base di un triangolo isoscele di lato r/2 e' 2 volte r/2 cos x (con x l'angolo alla base)

Infine: per trovare KD ho considerato che KE e' perpendicolare a DE, dal momento che DE e' un segmento della tangente in E e KE e' un segmento del raggio passante per E. Il raggio passante per il punto di tangenza e' SEMPRE perpendicolare alla tangente in quel punto.

Il vertice D non e' sulla circonferenza, ma dimostrando che il triangolo e' rettangolo (come spiegato prima) poco importa. I triangoli rettangoli hanno proprieta' valide sempre. L'importante e' che, appunto, si dimostri che un triangolo sia rettangolo!
Questo topic è bloccato, non sono ammesse altre risposte.
Come guadagno Punti nel Forum? Leggi la guida completa
In evidenza
Classifica Mensile
Vincitori di novembre
Vincitori di novembre

Come partecipare? | Classifica Community

Community Live

Partecipa alla Community e scala la classifica

Vai al Forum | Invia appunti | Vai alla classifica

Registrati via email