BlackAngel
BlackAngel - Genius - 2009 Punti
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Ciao ragazzi ho provato a fare questo problema di trigonometria e non riesco a capire come impostarlo, potete aiutarmi??

Nel triangolo ABC i lati AB e BC sono lunghi rispettivamente 13 e radical673 cm, mentre la mediana relativa al lato AC è lunga 15 cm. Determinare la lunghezza del lato AC e il coseno dell'angolo BAC. [28cm;5/13]
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Provo a darti una dritta,

Per il teorema di Carnot, sai che il quadrato di un lato del triangolo è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati, -il doppio prodotto dei due lati per il seno dell'angolo compreso.

Chiamiamo ALFA l'angolo che devi trovare e x il segmento AM=MC (dove M è il punto di contatto tra la mediana e il lato AC

Avremo che il triangolo ABM ha un lato di 15, un lato di 13, un lato x.

Per il teorema di Carnot

[math]\ AB^2 + x^2 -2x(AB)cos \alpha = BM^2[/math]

Mentre, analogamente, per il triangolo ABC avremo

[math]\ AB^2 + (2X)^2 - 2(AB)(2x)cos \alpha =BC^2[/math]

Mettiamo a sistema e troviamo le due incognite

(per comodità di calcolo proporrei:

[math]\ y= cos \alpha[/math]
BlackAngel
BlackAngel - Genius - 2009 Punti
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e cm lo potrei risolvere il sistema?? :dozingoff
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Poniamo
[math] \cos \alpha = y [/math]

[math]\ AB^2 + x^2 - 2x(AB)y = BM^2[/math]

Mentre, analogamente, per il triangolo ABC avremo

[math]\ AB^2 + (2x)^2 - 2(AB)(2x)y =BC^2[/math]

Dalla prima equazione otteniamo che

[math] AB^2 + x^2 - BM^2 = 2x(AB)y \\ \frac{AB^2 + x^2 -BM^2}{x}= 2(AB)y [/math]

Dalla seconda

[math] AB^2 +4x^2 - BC^2 = 2(AB)(2x)y \\ \frac{AB^2 + 4x^2 - BC^2}{2x}=2(AB)y [/math]

Ma essendo

[math] 2(AB)y=2(AB)y [/math]

Sarà

[math] \frac{AB^2 + x^2 -BM^2}{x}= \frac{AB^2 + 4x^2 - BC^2}{2x}[/math]

Ovvero

[math] 2 \frac{AB^2 + x^2 -BM^2}{2x}= \frac{AB^2 + 4x^2 - BC^2}{2x}[/math]

E quindi

[math] 2 (AB^2 + x^2 -BM^2)= AB^2 + 4x^2 - BC^2[/math]

con

[math]x \ne 0[/math]

AB, BM e BC sono noti.
Troviamo x e successivamente y (sostituendo il valore di x ad una delle due equazioni)
BlackAngel
BlackAngel - Genius - 2009 Punti
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Grz Mille!! 6 stato gentilissimo... Alla proxima Ciao :hi
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Alla prossima!

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