francesca.martini
francesca.martini - Erectus - 57 Punti
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Salve. ho problemi con questo problema, o meglio ho problemi con la disequazione.
E' data la semicirconferenza di diametro AB=2r e centro O. Nel triangolo ABC in essa inscritto poni l'angolo in BAC=x. Sulla semiretta OC considera il punto P tale che OC=CP. Verifica che PA2+PB2=10r2. Risolvi poi, nei limiti geometrici imposti dal problema, la disequazione (PA2)/(PB2)≥2
Grzie
carlogiannini
carlogiannini - Eliminato - 3992 Punti
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La prima parte del problema si risolve col (corollario del) teorema di Eulero che dice:
la somma dei quadrati di due lati di un triangolo è uguale al doppio della somma dei quadrati della mediana e di metà del terzo lato. PO è la mediana del triangolo APB e OB è la metà di AB.
Quindi:
[math]PB^2+PA^2=2(PO^2+OB^2)\\quindi:\\PA^2+PB^2=2[(2R)^2+R^2]=2(4R^2+R^2)=10R^2[/math]
.
.
Per la seconda parte sto facendo i conti applicando il teorema di Carnot ai triangoli APC e BPC ma specie per calcolare PB mi vengono (per ora) conti un po' astrusi quindi li rifaccio e poi ti dico

Aggiunto 1 ora 21 minuti più tardi:

Se (e ribadisco SE) ho fatto bene i conti
[math]PA^2=R^2(2cosx+1)^2[/math]
.
Come in tutti questi tipi di problemi, per pura semplicità (pigriza) di calcolo possiamo porre
R = 1
in quanto "R" è un semplice fattore di proporzionalità o parametro. Se serve (magari per controllare il risultato sul libro) basta rimoltiplicare tutto per "R" alla fine. Quindi
[math]PA^2=(2cosx+1)^2\\PB^2=10R^2-PA^2\\cioè\\PB^2=10-PA^2\\.\\\frac{PA^2}{PB^2}=\frac{PA^2}{10-PA^2}=\frac{PA^2}{10-PA^2}\ge 2\\\frac{PA^2}{10-PA^2}-2\ge 0\\\frac{PA^2-20+2PA^2}{10-PA^2}\ge 0\\\frac{3PA^2-20}{10-PA^2}\ge 0\\sostituendo\\\frac{3(2cosx+1)^2-20}{10-(2cosx+1)^2}\ge 0[/math]
.
.
Questa disequazione fratta si risolve studiando i segni di num. e denom.
quindi:
[math](2cosx+1)^2\ge \frac{20}{3}\\e\\-(2cosx+1)^2\ge -10\\cioè\\(2cosx+1)^2\le 10[/math]
.
.
Poiché dai dati del problema si vede che l'angolo "x" è compreso tra 0° e 90° possiamo affermare che
[math]cosx\ge 0\\e\ anche\\(2cosx+1)\ge 0[/math]
.
per cui possiamo mettere sotto radice quadrata i due membri della disequazione senza introdurre noiosi "valori assoluti", per cui ci rimane da studiare
[math]2cosx+1\ge \sqrt{\frac{20}{3}}\\e\\2cosx+1\le \sqrt{10}[/math]
.
.
Meno complicato di così al momento non vedo niente. Spero che ti sia chiaro, casomai fammelo sapere.
ATTENZIONE : prendila come una traccia, nel senso di ricontrollare attentamente tutti i calcoli perché li ho fatti di getto e qualche errore di digitazione è sempre possibile
allessandrom
allessandrom - Ominide - 16 Punti
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Scusate l'intromissione.
Carlo, potresti risolvere anche il mio problema per favore?
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