saretta
saretta - Sapiens - 519 Punti
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scusate.... non riesco a scrivere nel vecchio post, ma ho proprio bisogno della risoluzione di questo problema...
cioè può essere che non devo fare calcoli, nemmeno tirare in ballo seno e coseno o tangenti, ma semplicemente facendo delle considerazioni?!?!?

"data una semicirconferenza di diametro AB=2r, determinare sulla circonferenza un punto E, tale che, costruita la corda AE e tracciata la tangente alla circonferenza nel punto E, la parallela alla corda E, che parte dal punto C, punto medio di OA, si abbia CD= con D punto di incontro con la tangente"
dava come suggerimento angolo OAE= x

Aggiunto 1 giorni più tardi:

non me l'ha copiato CD=
[math]r\sqrt{2}[/math]

grazie... ora cerco di seguire la spiegazione....

Aggiunto 15 minuti più tardi:

ciao!
grazie in anticipo!

senti, però ho dei dubbi...
CO non è uguale a r/2, dato che C è il punto medio di AO?

a me AE viene
[math]AE=2r sen\gamma= 2r (\pi-2x)=2r(sen\pi *cos2x - cos\pi*sen2x)= 2r (0*cos2x +1*2senxcosx)=2r(2senxcosx)=4 r senx cosx[/math]

ho chiamato
[math]\gamma[/math]
l'angolo AOE
Aggiunto 9 minuti più tardi:

un'altra cosa....
mi sfuggono questi passaggi

o considerando che la base AE del trapezio ACKE e'
[math]2rcosx[/math]
e che le proiezioni dei lati sulla base maggiore misurano entrambe
[math]\frac{r}{2}cosx[/math]
e quindi la base minore CK sara'
[math]2rcosx-2\frac{r}{2}cosx=rcosx[/math]

o considerando il triangolo CKO, isoscele (perche' AE e CD sono parallele tagliate dalle trasversali AO e EO che quindi segnano (per Talete) angoli corrispondenti congruenti, e quindi il triangolo COK e' isoscele di lato r/4 e quindi la base di questo triangolo isoscele sara'
[math]2\frac{r}{2}cosx[/math]

Aggiunto 5 minuti più tardi:

altra domanda....
ma per trovare KD hai usato teorema della corda?
e si può usare anche se il vertice D non si trova sulla circonferenza?

ed anche per CK hai usato il teorema della corda?!

devo spiegare i teoremi e i passaggi che faccio, passaggio per passaggio

Aggiunto 23 minuti più tardi:

allora....
il problema di KD l'ho risolto...
ho applicato il teorema dei triangoli rettangoli!

però i passaggi prima mi risultano un pò ostici.... + che altro non capisco perchè a te CO e OK vengono la metà che a me... a me vengono uguali a r/2

come fai a trovare CK, cioè quale formula usi, ed anche AE a me viene abbastanza diverso....

Aggiunto 2 giorni più tardi:

provo di nuovo con questa domanda, a vedere se funziona...
ci sono delle cose che mi sono un pò oscure, please, un aiuto
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Ho guardato l'altro esercizio che hai postato, perche' qui manca CD=?
La soluzione che ti e' stata data, parla di un triangolo rettangolo ma non trovo da nessuna parte una dimostrazione che tale triangolo debba essere rettangolo.

Mi spiego meglio. Vero che CC' e' il raggio e che CD dev'essere
[math] r \sqrt2 [/math]
ma bisognerebbe dimostrare che CC'D e' rettangolo!
Comunque, detto questo:

Hai un triangolo isoscele con lati congruenti AO=EO=r.

Inoltre hai la retta CD che, essendo parallela alla base AE genera un trapezio isoscele ACKE, che pertanto avra' (detto K il punto di intersezione tra CD e OE) KE=AC=r/2

Poi: la lunghezza di CK la puoi calcolare in diversi modi:

o considerando che la base AE del trapezio ACKE e'
[math] 2r \cos x [/math]
e che le proiezioni dei lati sulla base maggiore misurano entrambe
[math] \frac{r}{2} \cos x [/math]
e quindi la base minore CK sara'
[math] 2r \cos x - 2 \frac{r}{2} \cos x = r \cos x [/math]

o considerando il triangolo CKO, isoscele (perche' AE e CD sono parallele tagliate dalle trasversali AO e EO che quindi segnano (per Talete) angoli corrispondenti congruenti, e quindi il triangolo COK e' isoscele di lato r/4 e quindi la base di questo triangolo isoscele sara'
[math] 2 \frac{r}{2} \cos x = r \cos x [/math]

Infine considera il triangolo KED: rettangolo in E (il raggio e' perpendicolare alla tangente nel punto di tangenza).

L'angolo in K sara' x (o perche' opposto al vertice dell'angolo CKO o perche' alterno interno dell'angolo AEK o per differenza dell'angolo piatto CKO dall'angolo del trapezio CKE che misura 180-x (se ti fai il conto degli angoli del trapezio, gli angoli alla base sono ciascuno x, quindi la somma degli angoli superiori sara' 360-2x e quindi ogni angolo (360-2x):2=180-x)

Quindi KD sara'
[math] \frac{r}{2 \cos x} [/math]

Ma allora CD=CK+KD=
[math]r \cos x + \frac{r}{2 \cos x} = r \sqrt2 [/math]

Da cui risolvendo l'equazione avrai

[math] \frac{r(2 \cos^2 x -2 \sqrt2 \cos x +1)}{2 \cos x}=0 [/math]

E dunque per
[math] \cos x \ne 0 \to x \ne \frac{\pi}{2} \ U \ x \ne \frac32 \pi [/math]
(il secondo non sta nei limiti dell'angolo, che avrai precedentemente posto, immagino compreso tra 0 e pigreco/2)
avrai

[math] \( \sqrt2 \cos x - 1 \)^2 = 0 \to \cos x = \pm \frac{\sqrt2}{2} [/math]

Ovvero
[math] x = \frac{\pi}{4} [/math]
e
[math] x= \frac34 \pi [/math]
la seconda non e' accettabile
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