moon
moon - Sapiens - 614 Punti
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ciao ragazzi non riesco a risolvere questo problema mi potete aiutare?

Data la funzione f(x)=(1+x^2)/x^2
1)Trovare F(x) primitiva di f(x) tale che F(1)=f(1).
2)Ricavare le curve y=f(x) e y=F(x) e le equazioni delle tangenti nei loro punti comuni.
3)Calcolare l'area finita delimitata da f(x), F(x) e x=-2

E' un problema di maturità scientifica del 1988
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Ti risolvo il primo punto: il secondo è lo studio di funzioni che, spero, credi dovresti riuscire a fare da solo.

Per il terzo oi ne parliamo.

1) devi calcolare

[math]F(x)=\int f(x)\ dx+c[/math]
con la condizione
[math]F(1)=f(1)=2[/math]

Allora

[math]F(x)=\int\frac{1+x^2}{x^2}\ dx=\int\left(1+\frac{1}{x^2}\right)\ dx=x-\frac{1}{x}+c[/math]

e quindi

[math]2=F(1)=1-1+c=c[/math]

Ne segue che

[math]F(x)=x-\frac{1}{x}+2[/math]

Ora prova a fare il resto e poi se ne riparla.
moon
moon - Sapiens - 614 Punti
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per il secondo punto devo mettere a sisteme f(x) e F(x)per trovare i punti i comuni?

grazie...
adry105
adry105 - Genius - 3918 Punti
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Si, esatto.. In questo modo trovi i punti comuni.. Dopo devi trovare le tangenti in quei punti =)
moon
moon - Sapiens - 614 Punti
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la derivata prima di f(x) è 2/x e la derivata di F(x)?
aleio1
aleio1 - Mito - 18949 Punti
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la derivata prima di f(x) è -2/x^3
e poi come fai a chiederti la derivata di F(x)???
[math]\int{f'(x)} = f(x)[/math]
adry105
adry105 - Genius - 3918 Punti
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Visto che i punti sono in comune e anche le tangenti per quei punti sono in comune, se il tuo intento era quello di calcolarti le tangenti sfruttando la derivata prima, ti basta avere la derivata prima di una delle due funzione, sostituire il punto nella derivata prima e così da ottenere il coef. angolare della tangente nel punto alla funzione..

In un certo senso l'integrale è l'operazione inversa alla derivata; come la divisione è l'operazione inversa alla moltiplicazione...

Se trovi la primitiva di una funzione in poche parole significa trovare quella funzione la cui derivata prima è la funzione che hai...

Quindi se la tua funzione è x-1/x+2 e la derivata prima è (1+x^2)/x^2:

Basta sostituire il punto alla seconda funzione per trovarti il tuo m! =)
moon
moon - Sapiens - 614 Punti
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allora io ho trovato come punti comuni x=1 e x=-1
quindi f'(x)=1+x^2/x^2
f'(1)=2 e f'(-1)=2
m=2 giusto?
le due rette tangenti saranno
y=2x+4 e y=2x
adry105
adry105 - Genius - 3918 Punti
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Hai le soluzione del problema?...


m=2 dovrebbe essere giusta, ma le rette come le hai trovate?.. Hai m, ti devi scrivere il fascio di rette generico passante per il punto x=1 e y=?... Devi trovarti la y!

Sai che il punto x=1 passa per la funzione x-1/x+2 (se è un punto di tangenza ci passa!) sostituosci 1 e trovi la y.. Adesso puoi scrivere il fascio di rette generico e inserire m=2 e trovarti le tangenti...
moon
moon - Sapiens - 614 Punti
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no le soluzioni non le ho infatti non so se sto procedendo bene!!
dovrebbe essere y=2
adry105
adry105 - Genius - 3918 Punti
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Si stai procedendo benissimo =9 Non fare esercizi di cui non hai le soluzioni!

Adesso trovati le tangenti
moon
moon - Sapiens - 614 Punti
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come si risolve il terzo punto?
adry105
adry105 - Genius - 3918 Punti
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Devi disegnare le due funzione f(x), F(x), disegnare la retta x=-2; vedere quale è l'area finita compresa tra questi 3 grafici e trovarla con l'integrale!
moon
moon - Sapiens - 614 Punti
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come si disegnano le 2 funzioni
adry105
adry105 - Genius - 3918 Punti
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Uhm devi studiare le funzioni, intersezioni con gli assi, segno, asintoti, derivata prima e seconda uhm... Ti dice niente?
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