Shalan
Shalan - Sapiens Sapiens - 840 Punti
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allora il Mio prof mi ha dato un esercizio della SESSIONE SUPPLETIVA 1990...
sono due o tre giorni che ci sbatto la testa ma non lo riesco a fare...
ecco la traccia:

Data la semicirconferenza di diametro AB=2 con centro O e raggio OT perpendicolare ad AB, da un generico punto H di AB tracciare la perpendicolare ad AB fino ad intersecare la semicirconferenza in P e da P il segmento PK, con K appartenente al segmento OT, tale che l'angolo KPO sia uguale all'angolo OPH.
Indicata con x la lunghezza del segmento OH, determinare la lunghezza y del segmento OK in funzione di x.
Studiare l'andamento della funzione


vorrei sapere almeno il procedimento... o se qualcuno riesce a farlo mi fa capire come si fa...
the.track
the.track - Genius - 12440 Punti
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Ho trovato un sistema anche se è un po' macchinoso te lo posto ugualmente. Magari puoi trarne spunto.

Cominciamo con alcune considerazioni:
La circonferenza ha raggio pari ad uno e ponendola su un piano cartesiano con centro all'origine degli assi abbiamo la circonferenza goniometrica. Ora allo scopo di essere chiari pongo l'angolo HOP=
[math]\alpha[/math]
A questo punto in evidenza troviamo che:
[math]x=cos\alpha[/math]
Di conseguenza abbiamo che:
[math]PH=sin\alpha[/math]
oppure più semplicemente:
[math]PH=1-x^2[/math]
Ora direi di calcolare l'angolo OPH:
[math]OPH=\frac{\pi}{2}-\alpha[/math]
Ora sapendo che OPH=OPK direi di trovare la retta passante per PK sfruttando la tangente (coefficiente angolare della retta) di
[math]-\frac{\pi}{2}-2OPH[/math]
e conoscendo le coordinate di P. Una volta trovata la retta troviamo l'intersezione con x=0 (retta su cui giace OT) trovando così le coordinate di OK.
Complicato ma dovrebbe funzionare. Se hai dubbi sul ragionamento chiedi pure.
Shalan
Shalan - Sapiens Sapiens - 840 Punti
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PH= 1-x^2 l'hai trovato con il teorema di euclide giusto?

cmq se ho capito bene trovando le coordinate posso avere la lunghezza y gisutamente..
però quando dice poi di studiare la funzione ... quale funzione devo fare?

cmq ora svolgo l'esercizio.. se esce ti faccio sapere.. se no abbiamo sbagliato
the.track
the.track - Genius - 12440 Punti
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Basta che tu usi Pitagora. Il raggio OP=1 perciò:
[math]PH=\sqrt{1^2-x^2}[/math]
Quindi scusa ma 1-x^2 è PH^2. L'idea è quella :lol
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Track, io ho una soluzione molto più furba! :)

Osservate la figura: è facile vedere, dal teorema di Pitagora, che

[math]PH=\sqr{OP^2-OH^2}=\sqrt{1-x^2}[/math]

D'altra parte si consideri il triangolo PKO: esso ha l'angolo in K uguale ad
[math]\alpha[/math]
e coincide con l'angolo
[math]O\widehat{P}H[/math]
. D'altra parte abbiamo che l'angolo
[math]H\widehat{O}P=\pi/2-\alpha[/math]
e quindi
[math]K\widehat{O}P=\alpha[/math]
. Ma allora il triangolo OKP è isoscele sulla base OP=1 ed i suoi lati sono
[math]OK=PK=y[/math]
A questo punto, tracciando l'altezza KR di questo triangolo, si ha la seguente similitudine tra i triangoli PHO e PKR:
[math]PH/PR=PO/PK[/math]

ma essendo PO=1 (il raggio), PR=1/2 (poiché l'altezza relativa alla base in un triangolo isoscele è anche mediana, asse e bisettrice) si ha pure

[math]\sqrt{1-x^2}{(1/2)}=1/y\Longrightarrow y=\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}[/math]

Lo studio di funzione poi è semplice!
Shalan
Shalan - Sapiens Sapiens - 840 Punti
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perchè l'angolo in K è uguale ad ALFA?
a me esce 2ALFA


scusate...l'angolo in P del triangolo OPK è 90°-ALFA
l'angolo in O è uguale.
quindi l'angolo in K sarà uguale a 180°- (90°-ALFA +90°-ALFA) = 2ALFA
o sbaglio?
the.track
the.track - Genius - 12440 Punti
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Ciampax non metto in dubbio il to procedimento però anche a me risulta
[math]2\alpha[/math]
.
Noi abbiamo che
[math]AOP=\alpha[/math]
[math]APO=90-\alpha[/math]
Abbiamo
[math]OPK=90-\alpha[/math]
[math]POK=90-\alpha[/math]
[math]PKO=180-(90-\alpha)-(90-\alpha)=2\alpha[/math]
Sbagliamo da qualche parte??
Shalan
Shalan - Sapiens Sapiens - 840 Punti
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ci sto sbattendo la testa in tutti i modi... ma acneh se consideri il quadrilatero... esce sempre 2 ALFA
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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L'angolo in K è uguale a
[math]\pi-2\alpha[/math]
.Tu sbagli perché
[math]AOP=\pi/2-\alpha[/math]
visto che
[math]OPH=\alpha[/math]
. Infatti se prendi gli angoli del triangolo OHP hai che
[math]OHP=\pi/2[/math]

e quindi

[math]\pi/2=OPH+POH=\alpha+AOP[/math]
.
Chiaro adesso? Ma lo avete visto il disegno poi? I due angoli uguali sono
[math]HPO=OPK=\alpha[/math]
.
Shalan
Shalan - Sapiens Sapiens - 840 Punti
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ancora non ho capito...
perchè l'angolo in K ora dici che è 90-2ALFA?
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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[math]\pi=180[/math]
!!!!
[math]PKO=\pi-2\alpha[/math]
. Oh, più spiegato di come ho fatto prima non si può!
the.track
the.track - Genius - 12440 Punti
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ok! Adesso ho capito. Il procedimento per trovare l'angolo è chiarissimo. L'unica cosa è che abbiamo considerato
[math]\alpha[/math]
angolo diversi. Tu hai considerato
[math]\alpha[/math]
l'angolo OPH (angolo in P); io invece ho considerato
[math]\alpha[/math]
l'angolo AOP (angolo in O).
Credo che il disguido sia stato questo.
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Fa lo stesso. Basta intendersi. Però allora i due angoli uguali devono misurare entrambi
[math]\pi/2-\alpha[/math]
, ti pare?
the.track
the.track - Genius - 12440 Punti
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Certamente. su questo non ci piove. Comunque era giusto ciò che pensavo solo che non ci eravamo capiti. A questo punto l'unico che deve capire è Shalan. :)
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Infatti!

Pagine: 12

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