federica.mennuni
federica.mennuni - Ominide - 4 Punti
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In un rettangolo ABCD la base AD e l'altezza AB misurano rispettivamente 8 e 3. Sul lato BC, preso come diametro,descrivere la semicirconferenza esterna al rettangolo.detto P un punto della semicirconferenza,determinare la misura di AP in funzione della misura di x della sua proiezione su AD.Come deve essere scelto P affinché il segmento AP sia massimo?Verificare che la distanza AP è massima quando i punti A e P sono allineati con il punto medio di BC.
bimbozza
bimbozza - Genius - 19548 Punti
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prima di postare la soluzione vorrei capire una cosa...non riesci a trovare AP o a trovare P tale che AP sia massimo?
Ali Q
Ali Q - Mito - 23936 Punti
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Ciao, Federica!
Ho provato a risolvere il tuo problema. Spero di essere riuscita ad arrivare in modo corretto ai risultati. Dunque...

Disegno il rettangolo ABCD e la semicirconferenza di diametro BC.
Il lato BC misura ovviamente quanto il lato AD (8cm), e quindi il raggio della semicirconferenza è pari a AD/2 (cioè 4 cm).

Prendo un sistema di riferimento cartesiano ortogonale che ha ordine in corrispondenza del vertice B del rettangolo.

Troviamo l'equazione della semicirconferenza di diametro BC rispetto a questo sistema di riferimento. La sua equazione generica sarà:
x^2 + y^2 + ax + by + c =0
Di questa circonferenza si sa che il raggio misura 4 (cm, ovviamente) e che ha centro nel punto O di coordinate (AD/2, AB), cioè (4,0).

Grazie a questi dati è possibile determinare a,b,c e quindi l'equazione della circonferenza.
Chiamo α e β le coordinate del centro 0.
a = -2 α = - 2 x 4 = -8
b = -2 β = -2 x 0 = 0

r = radice di (α² + β²-c)
r² = (α² -c)
16 = 16 –c
c = 0

Quindi l’equazione –rispetto al sistema di riferimento adottato è: x^2 + y^2 - 8x =0
Quindi y = √(8 x - x²)

Indico con x la proiezione del segmento AP su AD e con y’ l'altezza del punto P rispetto all'asse delle ascisse (e quindi rispetto al lato AD).
Ebbene, ad ogni valore di x corrisponde un valore della y’ pari a y + AB.

Dall’equazione (e dal disegno per conferma) si nota infatti che quando:
P= B, x=0 → y = 0 e pertanto y’ = AB = 3 cm
X = 4cm → y =4 e y’ = 4 + AB = 7 cm
X = 8cm → y =0 e y’ = AB = 3 cm

AP può essere determinato grazie al teorema di Pitagora :

AP² = x² + y’² = x² + [√(8 x - x²) + AB]² = x² + [√(8 x - x²) + 3]² = x² + (8 x - x²) + 9 + 6√(8 x - x²) =
x² + 8 x - x² + 9 + 6√(8 x - x²) = 8 x + 9 + 6√(8 x - x²)

Trattandosi di un segmento, laddove esso sarà massimo, sarà massimo anche il suo quadrato.
Per calcolare dove AP² è massimo, faccio la derivata prima della funzione e la pongo pari a 0.

Essa vale:
8 + 6 ·1/2 (8 x - x²) ^(-½) · (8 –2x) = 0
8 + 3 · (8 –2x) /√ (8 x - x²) = 0
Moltiplico tutto per √ (8 x - x²).
8 √ (8 x - x²) + 3 · (8 –2x) = 0
(24 – 6x) = -8 √ (8 x - x²)
Elevo tutto al quadrato.
576 +36 x² - 288 x = 64 (8x- x²)
576 +36 x² - 288 x = 512 x – 64 x²
100 x² - 800 x +576 = 0
25 x² - 200 x + 144 = 0

∆ = 40000 – 14400 = 25600 = 160 ²
x = (200 ± 160) /50
x = 0,8 cm oppure x = 7,2 cm.

Sicuramente la prima soluzione è da scartare, perché anche graficamente si nota che AP non può raggiungere il suo massimo per quel valore.

AP è massimo per x = 7,2 cm. y’, di conseguenza, misura √(8 x - x²) + 3 = √(57,6 – 51,84) + 3 =
√(5,76) + 3 = 2,4 + 3 = 5,4 cm.

AP = radice di (x^2 + y’^2 ) = radice di (51,84 + 29,16) = radice di 81 = 9 cm.

Dimostriamo che quando x e y raggiungono i valori di 7,2 cm e 5,4 cm, i punti A e P sono allineati con il punto medio di BC.

Prendo un secondo sistema di riferimento cartesiano, che ha stavolta origine nel punto A.

La generica retta che ha origine nel punto A (0,0) e passa per il punto medio di BC ( 4,3) avrà una equazione pari a y = mx.
Sostituiamo ad x e y i valori delle coordinate del punto medio di BC.
3 = m4
Quindi m = ¾.

Se il punto (7,2, 5,4) soddisfa anch’esso questa equazione, esso appartiene alla retta medesima.
y = ¾ x.
5,4 = ¾ 7,2 = 5,4

Abbiamo dimostrato che AP è massimo quando A e P sono allietati con il punto medio di BC.

Fine. Spero sia la soluzione giusta e di esserti stata utile!
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