___Nì!___
___Nì!___ - Habilis - 270 Punti
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abbiamo iniziato da poco e già iniziano con 'sti problemi

in una circonferenza il cui raggio misura r è inscritto il quadrilatero ABCD di cui si conosce che i lati AB e BC sono entrambi congruenti al lato del triangolo equilatero inscritto nella circonfernza e che il lato AD è congruente al lato DC.
Dimostra che il quadrilatero ha le diagonali perpendicolari


raga vi ringrazio anticipatamente ;)
SuperGaara
SuperGaara - Mito - 120307 Punti
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Disegna la circonferenza di centro M. Inscrivi al suo interno il quadrilatero ABCD, in modo che AD=DC e AB=BC. Infatti se AB è uguale al lato del triangolo equilatero inscritto nella circonferenza, così come lo è BC, questo implica che i due lati del quadrilatero siano congruenti. Sia O il punto d'incontro delle diagonali.

Considera i triangoli ACB e ACD. Sono isosceli, poichè hanno rispettivamente congruenti i lati obliqui (AB=BC e AD=DC per ipotesi). Pertanto, si ha che gli angoli BAC e BCA sono congruenti, e che gli angoli CAD e DCA sono congruenti.

Considera i triangoli BAD e DBC. Si ha che AD=DC, AB=BC e che BD è comune. Pertanto i due triangoli sono congruenti. Ricavo che l'angolo BDA è congruente all'angolo BDC.

Considero i triangoli ADO e CDO. Osservo che AD=DC, OAD=OCD e ODA=ODC. Per il secondo criterio, i triangoli sono congruenti. Quindi AO=OC.

Siccome MO è un segmento che parte dal centro e divide in due parti uguali una corda, esso è perpendicolare alla corda stessa.

Poichè MO fa parte della diagonale BD (infatti giaciono sulla stessa retta poichè MOA + AOD = 180°), allora la diagonale BD è perpendicolare alla diagonale AC.

C.V.D.
pukketta
pukketta - Mito - 72506 Punti
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chiudo!:hi
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