indovina
indovina - Genius - 5427 Punti
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Se Potete suggerirmi anke come si fa questo sareste una salvezza grazie in anticipo.

la parabola y=-1\4 x^2 +2x interseca la parabola y=1\3 x^2 in un punto A.
che è distinto dall'origine O.
Condurre una retta parallela all'asse x, che incontri P l'arco OA della prima parabola e in Q l'arco Oa della seconda, in modo che PQ misuri 1.

Questa risposta è stata cambiata da Pillaus (27-02-07 18:08, 9 anni 9 mesi 17 giorni )
Pillaus
Pillaus - Genius - 7338 Punti
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Il punto A si trova mettendo a sistema le due parabole.

[math]-{1\over4}x^2 + 2x = {1\over3}x^2\\
\frac{7}{12}x^2 - 2x = 0\\
x_{1,2} = 0, \frac{24}{7}\\
y_{1,2} = 0, \frac{192}{49}[/math]

dunque A(24/7 ; 192/49), e si trova a sinistra del vertice della prima parabola (di ascissa 4) e a destra del vertice della seconda (l'origine)

Ora, P è il punto d'intersezione tra la retta y = k e la prima parabola. Per le intersezioni abbiamo:

[math]-\frac{1}{4}x^2 + 2x = k\\
\frac{1}{4}x^2 - 2x + k = 0\\
x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1- k/4}}{{1\over4}} = 4 \pm 4\sqrt{1- k/4}[/math]

ora, poiché P deve appartenere ad OA, è a sinistra del vertice della parabola, quindi prendiamo la soluzione col meno.
Vediamo ora Q. Ponendo l'intersezione tra la seconda parabola e la retta y = k, abbiamo:


[math]{1\over3}x^2 = k\\
x_{1,2} = \pm \sqrt{3k}[/math]

In questo caso prendiamo la soluzione col +. Il vincolo dell'appartenenza ad OA implica 0<k<192/49 La condizione diventa dunque:

[math]\overline{PQ} = \sqrt{3k} - (4 - 4\sqrt{1- k/4}) = 1\\
\sqrt{3k} + \sqrt{16 - 4k} = 5[/math]

Portando una radice a secondo membro e elevando al quadrato:

[math]3k = 25 + 16 - 4k - 10\sqrt{16 - 4k}\\
41 - 7k = 10\sqrt{16 - 4k}\\
(41 - 7k)^2 = 100(16 - 4k)\\
49k^2 - 174k + 81 = 0\\
k_{1,2} = \frac{87 \pm \sqrt{87^2 - 49\cdot 81}}{49}=\frac{27}{49},3[/math]

entrambe le soluzioni sono accettabili
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