jesuismoi
jesuismoi - Sapiens Sapiens - 857 Punti
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Dati A (2,0) B(0,1) determina il luogo dei punti r P tale che PA^2 +PB^2=19 indicando con C e D i punti in cui r interseca gli assi x e y. Detto E il simmetrico di B rispetto a r determina perimetro e area del quadrilatero avente per vertici i punti medi di CBDE. Dato il fascio Kx+y-1=0, discutilo e determina le rette del fascio che intersecano AB.

Mi aiutate perfavoreee!

In un altro problema invece ho l'equazione di una retta x^2+y^2-12x+6y+32=0, l'ho rappresentata graficamente trovando il raggio e il centro. Dopo mi chiede , dato un fascio di rette mx-y-3=0 di determinare il centro del fascio(l'ho fatto e mi trovo D(0,-3)), ma non riesco a trovare le due rette del fascio passanti per i punti A e B della circonferenza di ascissa 3.

Help me please!
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Preso un punto P a caso nel piano cartesiano, le coordinate del punto P saranno le generiche (x,y)

Il quadrato della distanza del punto P da A (2,0), ricordando la distanza tra due punti, sara'

[math] (x-2)^2+((y-0)^2 [/math]

mentre la distanza da B sara'

[math] (x-0)^2+(y-1)^2 [/math]

E pertanto sostiutendo alla relazione data
[math] x^2-4x+4+y^2+x^2+y^2-2y+1=19 \to x^2+y^2-2x-y-7=0 [/math]

Non mi e' molto chiara la frase "determina il luogo dei punti r P tale che.." pero'.

Dimmi sei il risultato del libro e' corretto..
Anche perche' "r" sembrerebbe una retta dal testo del problema..
Non vorrei mancasse un pezzo di testo..
jesuismoi
jesuismoi - Sapiens Sapiens - 857 Punti
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In verità li ha dettati la prof e non ho nemmeno i risultati..sono certa che il testo è così anche perchè non solo l'unica che ha scritto la frase in quel modo..di solito riesco a risolvere i problemi di geometria analitica.. ma forse un pò colpa delle feste e del testo non molto chiaro...quando l'ho letto mi sono ritrovata un pò spaesata.. ti sarei molto grata se mi dessi una mano...

Aggiunto 3 ore 25 minuti più tardi:

Qualcuno potrebbe darmi una mano perfavore? :cry :cry
aleio1
aleio1 - Mito - 18949 Punti
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quell'equazione descrive una circonferenza ed è quello, immagino, il luogo dei punti richiesto..
jesuismoi
jesuismoi - Sapiens Sapiens - 857 Punti
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no il primo è un problema sulle rette...il secondo è sulla circonferenza..
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Suppongo che la frase fosse

determina il luogo "r" dei punti "P" tali che...

Ora, questo però fa pensare ci sia qualche problema, perché se con r voleva indicare una retta, allora l'equazione dovrebbe venire di primo grado.

Forse la condizione era

[math]PA^2 - PB^2=19[/math]
?
(così verrebbe sicuramente una retta).
jesuismoi
jesuismoi - Sapiens Sapiens - 857 Punti
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Ciampax, hai ragione... era sbagliata la traccia...sono riuscita a recuperare la traccia del libro... è come hai scritto tu...grazie mille..cmq mi potresti dare una mano con i problemi please?
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Il quadrato della distanza del punto P da A (2,0), ricordando la distanza tra due punti, sara'

[math] (x-2)^2+((y-0)^2 [/math]

mentre la distanza da B sara'

[math] (x-0)^2+(y-1)^2 [/math]

E pertanto sostiutendo alla relazione data
[math] x^2-4x+4+y^2-x^2-y^2+2y-1=19 \to y-2x-8=0 [/math]

Fino a qui ci sei?
jesuismoi
jesuismoi - Sapiens Sapiens - 857 Punti
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sisi...
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Ora devi trovare E simmetrico rispetto a B alla retta.
I metodi qui sono diversi..

La retta e'
[math] 2x-y+8=0 [/math]

il punto B ha coordinate (0,1).

Quindi il suo simmetrico rispetto alla retta avra' la stessa distanza dalla retta.

La distanza di B dalla retta e'

[math] \frac{|2 \cdot 0 -1+8|}{ \sqrt{4+1}} = \frac{7}{ \sqrt5} [/math]

Il punto E giace sulla perpendicolare a r passante per B e dista 7/radice5 dalla retta..

Prova con questo aiuto a calcolare le coordinate di E
jesuismoi
jesuismoi - Sapiens Sapiens - 857 Punti
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E(-28/5, 19/5)?

Aggiunto 47 minuti più tardi:

BIT5 io vado a dormire... domani mattina ti posto i risultati del primo problema , credo di saper andare avanti, che ne dici di darci un'occhiatina? Ti posto i miei risultati, gentilmente potresti vedere se coincidono con i tuoi...per quanto riguarda il secondo problema, una volta che ho rappresentato la circonferenza , trovato il centro e il raggio, dopo che ho trovato il centro del fascio, non riesco a trovare le due rette del fascio passanti per i punti A e B della circonferenza di ascissa 3. Come devo fare?
Grazie mille per il tuo aiuto.. davvero!
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Il punto E e' diametralmente opposto a B rispetto alla retta 2x-y+8=0 (y=2x+8 )

Quindi il punto giace sulla perpendicolare alla retta e passante per B.

La retta perpendicolare ha
[math] m=- \frac12 [/math]

ed e' pertanto della forma
[math] y=- \frac12 x + q [/math]

Dal momento che passa per B, le coordinate di B ne soddisfano l'equazione.

Quindi

[math] 1= - \frac12 \cdot 0 + q \to q=1 [/math]

Pertanto il punto E appartiene alla retta
[math] y= - \frac12 x + 1 [/math]
e avra' coordinate generiche
[math] E ( x_0,y_0) \to E (x_0,- \frac12 x_0+1 ) [/math]

La distanza del punto generico quindi dalla retta
[math] 2x-y+8=0 [/math]
dovra' essere
[math] \frac{7}{ \sqrt5} [/math]

E quindi

[math] \frac { |2x_0-( - \frac12 x_0 +1) + 8|}{ \sqrt5} = \frac{7}{ \sqrt5} [/math]

Da cui, semplificando i denominatori e eliminando la parentesi

[math] |2x_0+ \frac12 x_0 + 7|=7 \to | \frac52 x_0 + 7 |=7 [/math]

Risolviamo, ricordando che eliminando il valore assoluto, l'argomento del valore assoluto (o modulo che dir si voglia) potra' essere uguale sia a 7 che a -7 (nel secondo caso il valore assoluto tanto ne invertirebbe il segno rendendolo positivo)

[math] \frac52 x_0 + 7 = \pm 7 [/math]

[math] \frac52 x_0 + 7 = - 7 \to \frac52 x_0= -14 \to x_0= - \frac{28}{5} [/math]

(e siccome appartiene alla retta
[math] y= - \frac12 x + 1 [/math]
avremo
[math]y= \frac{19}{5} [/math]

[math] \frac52 x_0 -7= 7 \to \frac52 x_0 = 0 \to x_0 = 0 [/math]
che e' il punto diametralmente opposto ed e' proprio B (questa infatti e' un'ulteriore conferma che abbiamo proceduto correttamente)
Appena vuoi, postami il dubbio successivo che andiamo avanti..
jesuismoi
jesuismoi - Sapiens Sapiens - 857 Punti
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Ho finito il primo problema.. mi dite come risolvere il secondo? Altrimenti non posso andare avanti..please :cry

Aggiunto 42 secondi più tardi:

x^2+y^2-12x+6y+32=0 è l'equazione di una circonferenza..
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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i due punti di ascissa 3 della circonferenza sono:

[math] 3^2+y^2-36+6y+32=0 \to y^2+6y+5=0 [/math]

da cui

[math] y=-1 \ \ \ y=-5 [/math]

Quindi i punti sono ( 3,-1 ) e ( 3, -5 )

A questo punto sostituisci al fascio il punto e ricavi i valori di m.

Una volta trovato m, sostituisci al fascio e trovi le rette.

Aggiunto 1 minuti più tardi:

(che sono
[math] -y+ \frac23 x - 3 =0 [/math]
e
[math] -y- \frac23 x - 3 =0 [/math]
)
.
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