elbarto1993
elbarto1993 - Sapiens - 328 Punti
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Mi aiutate a risolvere questo problema che tra un pò ho compito e ho alcuni dubbi?! grazie.

In un cerchio di centro O e raggio di misura
[math]r[/math]
sia AB una corda che dista da O di un segmento di misura
[math]1/2r[/math]
. Sia C il punto d'incontro delle tangenti A e B alla circonferenza; determinare sulla corda AB un punto D in modo che
[math]AD^2+DC^2+DB^2=6kr^2[/math]
.
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Per prima cosa, traccia i raggi AO e OB.
Questi segmenti sono uguali e perpendicolari alle rispettive tangenti (ricordati che il raggio passante per il punto di tangenza e' perpendicolare alla tangente).

considera OK (chiama K il punto su AB) distanza dal centro. Esso e' perpendicolare ad AB e passa per il punto medio.

Infine C, che e' il punto di incontro delle tangenti, e', appunto, il punto da cui le due tangenti alla circonferenza partono. Da un punto esterno ad una circonferenza partono due tangenti. La distanza dal punto esterno ai punti di tangenza e' la medesima. Quindi ABC e' un triangolo isoscele.

I due triangoli rettangoli AOK e BOK hanno entrambi ipotenusa pari a r e un cateto (OK) pari a 1/2r.

Pertanto AK=KB=
[math] \sqrt{r^2- \frac{1}{4r^2}} = \sqrt{\frac{4r^4-1}{4r^2}} [/math]

E pertanto AB, somma dei due cateti di AOK e BOK sara'
[math]2 \cdot \sqrt{\frac{4r^4-1}{4r^2}} = \sqrt{\frac{4r^4-1}{r^2}} [/math]

Poniamo x=AD.

Per le condizioni di esistenza, 0<=x<=AB

Infine considera il triangolo ACO, retto in A, e di cuiCO ne costituisce l'ipotenusa.

Conosciamo la proiezione OK del cateto AO sull'ipotenusa CO (1/2r) e l'altezza relativa all'ipotenusa (AK).

Per il secondo di euclide e' vero che

AK^2=OK per CK e quindi

[math] \frac{4r^4-1}{4r^2} = \frac{1}{2r} \cdot \bar{CK} [/math]

E quindi

[math] \bar{CK}= \frac{4r^4-1}{2r} [/math]

E pertanto CD sara' l'ipotenusa del triangolo rettangolo CDK di cui conosciamo i cateti (CK l'abbiamo appena calcolato, KD sara' AK-x.

A questo punto hai tutti i dati per procedere.

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