savell
savell - Ominide - 4 Punti
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ciao a tutti.....sn finite le vacanze :-( e nn riesco a risolvere questo **** di problema...mi potreste aiutare??grazie....


in una circonferenza il cui diametro AB misura 30 cm, la corda CD è ad esso perpendicolare e lo divide in due segmenti proporzionali ai numeri 9 e 16. determinare il perimetro e l'area del quadrilatero ACBD e se detto quadrilatero è anche circoscrivibile. (es. di matematica 1, l.santorum- c.grazziottin, il capitello)


grazie,
savell
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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La corda e' perpendicolare, e pertanto, detto O il punto di intersezione tra siametro e' corda, e' vero che CO=OD.

Per trovare le lunghezze di AO e OB, e' sufficiente impostare il sistema che affermi che AO:OB=9:16 e che ponga la condizione necessaria che AO+OB=AB=30cm

[math] \{ \bar{AO} : \bar {OB} = 9 : 16 \\ \bar{AO}+ \bar {OB} = 30 [/math]

da cui (chiamiamo per comodita' AO=x BO=y )

[math] x=30-y [/math]

[math] 30- y : y = 9: 16 [/math]

e siccome la proporzione altro non e' che una divisione

[math] \frac{30-y}{y}=\frac{9}{16} [/math]

[math] 16 (30-y)= 9y \to 480-16y=9y \to 480=25y \to y=19,2 [/math]

e pertanto
[math] x=10,8 [/math]

A questo punto consideri il triangolo ACO che e' congruente con il triangolo ABD (lo dimostri facilmente, condividono il lato AB, hanno stessa altezza e comunque sono la somma di due triangoli rettangoli con i lati congruenti)

Il triangolo ACB e' inscritto in una semicirconferenza e pertanto e' rettangolo in C.

AO e BO sono le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa, e per il secondo teorema di Euclide sai che

[math] \bar{AO} : \bar{CO} = \bar{CO} = \bar{Bo} [/math]

(ovvero l'altezza e' medio proporzionale alle proiezioni dei cateti sull'ipotenusa)

Trovi cosi' CO e pertanto l'area del triangolo rettangolo (il cui doppio sara' l'area del quadrilatero)

Il perimetro e' consequenziale, grazie al teorema di Pitagora.

L'inscrivibilita' del quadrilatero la dimostri sommando i lati opposti:

Se la somma dei due lati opposti e' uguale alla somma degli altri due, il quadrilatero e' circoscrivibile (e infatti lo e' )
savell
savell - Ominide - 4 Punti
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grazie fxxxxxxxxxxxxxxx 6 1 grande!!!!;)
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