circe
circe - Sapiens - 460 Punti
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potreste spiegarmi come risolvere questo problema?? Non riesco a venirne a capo...

In riferimento al piano cartesiano x0y sono assegnati i punti A (4,0) e B (2,0) e la retta r per B di coefficiente angolare -4/3. Si scrivano le equazioni delle due circonferenze tangenti in A all'asse x e tangenti alla retta r. Indicati con C e C' i centri delle due circonferenze e con D e D' i rispettivi punti di contatto di queste con la retta r, si determini l'area e il perimetro del quadrilatero CDD'C'. Si dimostri che i triangoli DAD' e CBC' sono simili e se ne indichi il rapporto di similitudine. Si determini infine su r un punto P di ascissa e ordinate positive in modo che risulti: PC^2+PC'^2=k (k appartenente a R).


GRAZIE MILLE IN ANTICIPO

Aggiunto 2 ore 6 minuti più tardi:

certo... la retta l'ho calcolata, ma già nel calcolo delle circonferenze ho dei problemi imponendo il delta uguale a 0.

Avevo dimenticato un pezzo del problema...scusa...ho corretto

Aggiunto 14 minuti più tardi:

Avevo dimenticato un pezzo di problema...scusa... ho corretto

Aggiunto 1 ore 7 minuti più tardi:

no no, ho capito...

Aggiunto 26 minuti più tardi:

non riesco a capire cosa sarebbe (\arac?)83...

Aggiunto 20 minuti più tardi:

grazie mille!!!! ora ho capito come risolverlo!!!!


ho provato a risolverlo ma il delta mi risulta negativo...
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Ma di questo esercizio non riesci a fare nulla?

Cioe' la retta per B di coefficiente angolare -4/3 ?
Le due circonferenze?
I centri e i punti di contatto?
Nulla di nulla?

Perche' se hai gia' risolto qualcosa anche per noi darti una mano e' piu' agevole, perche' abbiamo dei risultati che non dobbiamo calcolarci...

Aggiunto 26 minuti più tardi:

Va bene allora lo vediamo insieme. Pero' scusa una cosa. Le due circonferenze devono essere tangenti all'asse x e alla retta r (di equazione y=-4/3x+8/3).

Ma ste due circinferenze dove stanno? a che serve il punto A?

perche' nel piano cartesiano, le circonferenze tangenti a due rette sono infinite...

Aggiunto 1 ore 10 minuti più tardi:

stiamo cercando circonferenze tangenti in A, pertanto passanti per il punto A.

[math] 16+4a+c=0 \to c=-16-4a [/math]

le circonferenze apparterranno al fascio

[math] x^2+y^2+ax+by-4a-16 [/math]

a questo punto possiamo procedere con il metodo del Delta, ma per le circonferenze e' sempre rischioso.

quindi possiamo procedere cosi'.

Dal momento che le circonferenze sono tangenti alle due rette (secanti) avranno il centro equidistante da entrambe le rette (rette y=-4/3x+8/3 e y=0)

(ricordati che il raggio relativo al punto di tangenza e' perpendicolare alla tangente)

Inoltre dal momento che il punto A sta sull'asse y, il centro stara' necessariamente sulla perpendicolare all'asse x e passante per esso (ovvero sulla retta x=4)

Pertanto la x del centro sara' per entrambe le circonferenze, x=4

quindi

[math] - \frac{a}{2} = 4 \to a=-8 [/math]

Dunque le circonferenze cercate saranno entrambe della forma (sostituisco al fascio di prima)

[math] x^2+y^2-8x+by-48=0 [/math]

A questo punto calcoliamo le coordinate dei due punti di ascissa 4 (centri) tali che siano equidistanti dalle due rette.

La distanza dalla retta x sara' semplicemente l'ordinata (in valore assoluto)

La distanza dalla retta y=-4/3x+8/3 (ovvero in forma implicita 4x+3y-8=0) sara'

[math] d= \frac{4x_C+3y_C-8}{\sqrt{4^2+3^2}} [/math]

La x del centro e' 4...

E questa distanza dovra' essere pari alla distanza dall'asse x (y del centro)

quindi

[math] |y_C|= \frac{|16+3y_C-8|}{5} [/math]

e dunque

[math] y_C= \pm \frac{8+3y_C}{5} \to 5y_C= \pm \(8+3y_C \) [/math]

da cui due casi

[math] 5y_C=8+3y_C \to y_C=4 \\ \\ \\ 5y_C=-8-3y_C \to y_C=-1 [/math]

le due circonferenze avranno dunque il centro in (4,4) e (4,-1) e pertanto

[math] - \frac{b}{2}=4 \to b=-8 [/math]

la prima circonferenza sara'

[math] x^2+y^2-8x-8y-48=0 [/math]

mentre la seconda

[math] - \frac{b}{2}=-1 \to b=2 [/math]

sara'

[math] x^2+y^2-8x+2y-48=0 [/math]

fino a qui ci sei?

chiedi se hai dubbi :)

Aggiunto 33 secondi più tardi:

vado avanti. Guarda che c'era un errore nel centro della seconda e ho corretto :)

Aggiunto 4 minuti più tardi:

Ora.

trovi i punti D e D' (intersezione tra circonferenza e retta e circonferenza2 e retta)

per l'area del poligono:

sai che CD e C'D' sono perpendicolari alla retta (raggi delle circonferenze relativi ai punti di tangenza) e quindi parallele tra loro

Inoltre che DD' e' nuovamente perpendicolare a DC e D'C'

la figura e' un trapezio rettangolo di basi DC e D'C' e altezza DD' (che calcoli come distanza tra due punti)

Aggiunto 3 minuti più tardi:

per la dimostrazione della similitudine e' sufficiente dimostrare che i lati stanno in relazione costante.

Aggiunto 4 minuti più tardi:

per l'ultimo esercizio...

Sappiamo che tutti i punti appartenenti alla retta sono della forma

[math] \( x_P , -\frac43x_P+ \frac83 \) [/math]

Calcoli la distanza da C e C'

[math] d_{\bar{PC}} = \sqrt{\(4-x_P \)^2+ \(4- \(- \frac43x_P+ \frac83 \) \)^2} \\ \\ \\ \\
d_{\bar{PC'}} = \sqrt{\(4-x_P \)^2+ \(-1- \(- \frac43x_P+ \frac83 \) \)^2} [/math]

pertanto la relazione sara'

[math] \(4-x_P \)^2+ \(4- \(- \frac43x_P+ \frac83 \) \)^2+ \(4-x_P\)^2+ \(-1- \(- \frac43x_P+ \frac83 \) \)^2 = k [/math]

Fai i calcoli e hai finito ^^

Aggiunto 26 secondi più tardi:

ho corretto
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