BlackAngel
BlackAngel - Genius - 2009 Punti
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Ciao ragà, ho bisogno del vostro aiuto: devo svolgere questo esericizio e non riesco a capire come fare... Potreste gentilmente spiegarmi in modo chiaro e preciso come fare??

SI consideri la funzione reale f di variabile real x tale che
[math]f(x)=\frac{x^2}{|x-2m|+m}[/math]
, dove m è un parametro reale non nullo.
Trovare gli insiemi di definizione, di continuità e di derivabilità della funzione.

GRAZIE IN ANTICIPO!! :blowkiss
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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La funzione da te postata e' riscrivibile come:

[math] f(x)= \{ \frac{x^2}{x-m} \ \ \ \ per \ \ x \ge 2m \\ \frac{x^2}{-x+3m} \ \ \ \ per \ \ x<2m [/math]

Insiemi di definizione:

Denominatore diverso da zero

[math] x-m \ne 0 \to x \ne m [/math]

[math] -x+3m \ne 0 \to x \ne 3m [/math]

Ora pero' dobbiamo considerare che i domini delle funzioni variano anche a seconda del valore di m.

Questo perche', ad esempio, dal momento che escludiamo x=m, non abbiamo abbastanza informazioni per sapere se m>2m o meno.

Tale informazione ci viene fornita a seconda del valore di m.

Infatti se m e' positivo, m>2m non e' mai verificata (e quindi il valore che escludiamo per il dominio, non appartiene all'insieme) mentre se m e' negativo, allora m>2m sempre e pertanto il valore da escludere appartiene al dominio.

Quindi dobbiamo imporre lo studio di funzione a seconda del variare di m.

Per m>0

[math] f(x)= \{ \frac{x^2}{x-m} \ \ \ \ per \ \ x \ge 2m \\ \frac{x^2}{-x+3m} \ \ \ \ per \ \ x<2m [/math]

Insiemi di definizione:

Denominatore diverso da zero

[math] x-m \ne 0 \to x \ne m [/math]
ma siccome x>=2m allora il valore escluso non appartiene all'insieme di definzione di questo "pezzo" di funzione
[math] -x+3m \ne 0 \to x \ne 3m [/math]
e poiche' x<2m allora anche 3m non appartiene all'insieme di definizione.
Concluderemo dunque che per m>0 (l'uguale lo escludiamo perche' cosi' ci viene detto dall'esercizio) la funzione e' sempre definita. (anche logicamente saremmo potuti arrivare a questa conclusione, dal momento che al denominatore, per ogni m>0, qualunque sia il valore di x, avremo la somma di una quantita' positiva (il valore assoluto) e di una quantita' > 0 (+m) che non dara' mai zero.

Invece per m<0

[math] f(x)= \{ \frac{x^2}{x-m} \ \ \ \ per \ \ x \ge 2m \\ \frac{x^2}{-x+3m} \ \ \ \ per \ \ x<2m [/math]

Insiemi di definizione:

Denominatore diverso da zero

[math] x-m \ne 0 \to x \ne m [/math]
e siccome per m<0 2m e' sempre < m allora il valore sta nell'insieme di definizione e dovra' essere escluso.
[math] -x+3m \ne 0 \to x \ne 3m [/math]
Analogamente come sopra, 3m<2m sempre per m<0.
Quindi avremo:

INSIEME DI DEFINIZIONE:

[math] \{ m>0 \\ \forall x \in \mathbb{R} [/math]

[math] \{m<0 \\ D: (- \infty,3m) \ U \ (3m,m) \ U \ (m, + \infty) [/math]

.

Aggiunto 4 minuti più tardi:

CONTINUITA':

per quanto riguarda la funzione definita per m>0 l'unico punto (eventuale) di discontinuita' potra' essere nel punto di "interruzione" del dominio, ovvero per x=2m, valore per il quale la funzione cambia equazione.

Calcoliamo dunque il limite per x-->2m

Per 2m avremo il primo pezzo di funzione, mentre nell'intorno sinistro (2m-) avremo l'altro pezzo

[math] \lim_{x \to 2m} \frac{x^2}{x-m}= \frac{4m^2}{m}=4m [/math]

mentre

[math] \lim_{x \to 2m^{-}} \frac{x^2}{-x+3m}= \frac{4m^2}{m}=4m [/math]

Pertanto anche nel punto di "interruzione" la funzione e' continua.

Per il caso m<0 invece, avremo discontinuita' in x=m, x=3m, mentre analogamente risolvendo i limiti, otterremo continuita' in x=2m

Aggiunto 1 minuti più tardi:

Calcoliamo le derivate parziali dei due pezzi di funzione:

[math] f'(x)= \frac{2x(x-m)-x^2(1)}{(x-m)^2} [/math]

Aggiunto 6 minuti più tardi:

[math] = \frac{2x^2-2xm-x^2}{(x-m)^2}= \frac{x^2-2xm}{(x-m)^2} [/math]

E' la derivata del primo pezzo, che esiste per x>=2m.

La derivata non e' definita per x=m, che per m>0 non e' presente nel dominio, mentre per m<0 e' gia' esclusa dal dominio.

Il secondo pezzo invece (definito per x<2m)

[math] f'(x)= \frac{2x(-x+3m)-x^2(-1)}{(3m-x)^2} = \frac{-x^2+6mx}{(3m-x)^2} [/math]

Per lo stesso discorso di prima, nel caso m>0 la funzione e' derivabile sempre, mentre per m<0 non e' derivabile in x=3m, valore gia' escluso dal dominio.

Vediamo infine cosa accade alla derivata nel punto x=2m.

[math] \lim_{x \to 2m} \frac{x^2-2xm}{(x-m)^2}= \frac{4m^2-4m^2}{m^2}=0 [/math]

mentre

[math] \lim_{x \to 2m^{-}}\frac{-x^2+6mx}{(3m-x)^2}= \frac{-4m^2+6m^2}{m^2}=2 [/math]

Pertanto anche x=2m non e' un punto di derivabilita', dal momento che la derivata destra e quella sinistra sono diverse (se non ho fatto errori di conto...)
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