jennyv
jennyv - Erectus - 140 Punti
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ciao, dovrei fare un esercizio sui punti di discontinuità ma non so da dove iniziare...
1 )trova per quale valore di a la funzione
y=e^[(x-1)/(x^2+ax)] ha in x=1 una discontinuità di terza specie.
2)determina per quale valore del parametro a la seguente funzione ha discontinuità eleiminabile in x=3
y=(x^2+ax)/(x^2-2x-3). classifica le altre discontinuità della funzione.
il problema è che ho capito la discontinuità di prima e seconda specie, ma quella di terza no. non ho capito nemmeno perchè si dice eliminabile...ho letto le definizioni sul libro ma ho una gran confusione in testa....grazie mille anticiaptamente del tempo ke potrete dedicarmi....
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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La discontinuita' di 3^ specie e' la discontinuita' eliminabile perchè nonostante la funzione in quel punto non esista, si puo' "Inserire" un valore di y per quel punto affinche' la doscontinuita' scompare.

Ti faccio un esempio

[math] f(x)= \frac{x}{x} [/math]

Questa funzione e' definita per
[math] \forall x \in \mathbb{R} - \{0 \} [/math]


Detto questo, possiamo semplificare numeratore e denominatore, e otteniamo (nel dominio di cui sopra)
[math] f(x)=1 [/math]

Avremo dunque una retta parallela all'asse x con un "buco" (punto di dicontinuita') in x=0.

Se calcoli il limite per x --> 0- e per x--> 0+ troverai che il limite sinistro = limite destro = 1.

Quindi potrai eliminare la discontinuita' "aggiungnedo" il punto (0,1) (ovvero ponendo arbitrariamente che per x=0 (punto di discontinuita') y=1.

avrai dunque la funzione

[math] f(x)= \{x, \ per \ x \ne 0 \\ 1, \ per \ x=0 [/math]

se tracci questa funzione composta, noti che la prima in 0 non esiste, ma grazie alla seconda funzione che abbiamo aggiunto, in x=0 abbiamo imposto quel punto tale che la funzione sia definita su tutto R senza interruzioni (funzione continua)

Detto questo, dunque, affinche' la discontinuita' sia di 3^ specie, il limite destro e il limite sinistro devono essere uguali e tendere ad un numero FINITO.

Quindi

[math] \lim_{x \to 1^-}e^{ \frac{x-1}{x^2+ax}} = e^{ \frac{0^-}{1+a}} = e^0=1 [/math]

Analogamente il limite per x da destra e' sempre 1.

Pertanto, a prescindere dal valore di a avremo sempre una discontinuita' eliminabile. (il valore del limite non cambia per ogni valore di a escluso a=-1 per il cui valore abbiamo un limite in forma indeterminata)

Se vogliamo considerare invece il valore di a tale che, qualunque esso sia, la discontinuita' sia SEMPRE di terza specie (compreso quindi a=-1) allora:

[math] e^{ \frac{x-1}{x^2+ax}}=e^{ \frac{x-1}{x(x+a)}} [/math]

Affinche' numeratore e denominatore si semplifichino, dovremo avere

[math] N=D \to x-1=x+a \to a=-1 [/math]

E dunque, per a=-1

[math]e^{ \frac{x-1}{x(x-1)}}= e^{ \frac{1}{x}} [/math]

Che per x-->1 (da destra o da sinistra) da'
[math] e^1=e [/math]
jennyv
jennyv - Erectus - 140 Punti
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:lol :lol grazie mille , ora credo di avere capito
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Perfetto..
Chiudo.
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